Dado h(x), calcule h^{\prime}(x) e simplifique a resposta.
h(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{2 x+1} *

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{2x+1}.
O assunto é derivada de funções compostas com raízes. Para resolver vamos usar a regra da soma e, para cada termo, a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando o primeiro termo \sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}:
pela regra da potência e da cadeia,
\frac{d}{dx}(x+1)^{1/2} =\tfrac12(x+1)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}(x+1) =\frac1{2\sqrt{x+1}}.

Passo 3

Derivando o segundo termo \sqrt[3]{2x+1}=(2x+1)^{1/3}:
pela regra da potência e da cadeia,
\frac{d}{dx}(2x+1)^{1/3} =\tfrac13(2x+1)^{-2/3}\cdot\frac{d}{dx}(2x+1) =\tfrac13(2x+1)^{-2/3}\cdot 2 =\frac{2}{3\,(2x+1)^{2/3}}.

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
h'(x) =\frac1{2\sqrt{x+1}} +\frac{2}{3\,(2x+1)^{2/3}}.

Passo 5

Para deixar num único quociente, podemos colocar denominador comum 6\,\sqrt{x+1}\,(2x+1)^{2/3}. Assim,
h'(x) =\frac{3\,(2x+1)^{2/3}+4\,\sqrt{x+1}} {6\,\sqrt{x+1}\,(2x+1)^{2/3}}.

Resposta

h'(x) =\frac1{2\sqrt{x+1}} +\frac{2}{3\,(2x+1)^{2/3}}
ou, equivalentemente,
h'(x) =\frac{3\,(2x+1)^{2/3}+4\,\sqrt{x+1}} {6\,\sqrt{x+1}\,(2x+1)^{2/3}}.

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