Dado h(x), calcule h^{\prime}(x) e simplifique a resposta.
h(x)=\operatorname{sen}\left(x^{5}+x^{4}+x^{3}\right) \quad *

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^{5}+x^{4}+x^{3}\bigr)
Aplicaremos a regra da cadeia, pois temos uma função composta: a função seno aplicada a um polinômio.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3},
de modo que
h(x)=\operatorname{sen}\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
h'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x). Como u(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}, temos
u'(x)=5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em h'(x), obtemos
h'(x)=\bigl(5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}\bigr)\,\cos\bigl(x^{5}+x^{4}+x^{3}\bigr).

Passo 5

Para simplificar, fatoramos x^{2} do polinômio:
5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}=x^{2}\,(5x^{2}+4x+3).
Logo, a derivada fica
h'(x)=x^{2}\,(5x^{2}+4x+3)\,\cos\bigl(x^{5}+x^{4}+x^{3}\bigr).

Resposta

h'(x)=x^{2}\,(5x^{2}+4x+3)\,\cos\bigl(x^{5}+x^{4}+x^{3}\bigr).

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