Dado h(x), calcule h^{\prime}(x) e simplifique a resposta.
h(x)=\sqrt[3]{\cos x+\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=\sqrt[3]{\cos x+\sin x}
ou seja, h(x)=(\cos x+\sin x)^{1/3}.
O conteúdo usado será a regra da cadeia para derivadas de função composta.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\cos x+\sin x
e a função externa
f(u)=u^{1/3}.
Assim h(x)=f\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
A derivada de f(u)=u^{1/3} em relação a u é
f'(u)=\frac{1}{3}u^{-2/3}.
A derivada de u(x)=\cos x+\sin x em relação a x é
u'(x)=-\sin x+\cos x=\cos x-\sin x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia,
h'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) =\frac{1}{3}\bigl(u(x)\bigr)^{-2/3}\,(\cos x-\sin x).
Substituindo u(x)=\cos x+\sin x, fica
h'(x)=\frac{1}{3}(\cos x+\sin x)^{-2/3}\,(\cos x-\sin x).

Resposta

h'(x)=\frac{\cos x-\sin x}{3\bigl(\cos x+\sin x\bigr)^{2/3}}.

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