Dê as derivadas das seguintes funçōes:
f(x)=\operatorname{sen}^{4} x^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \bigl(\sin(x^3)\bigr)^4.
O conteúdo necessário é a regra da cadeia, pois temos uma composição de três funções: a potência u^4, a função seno e a função x^3.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a derivada da potência. Se h(u)=u^4, então
h'(u)=4u^3.
Aqui u=\sin(x^3), logo pela regra da cadeia:
f'(x) =4\bigl(\sin(x^3)\bigr)^3\;\frac{d}{dx}\bigl[\sin(x^3)\bigr].

Passo 3

Agora derivamos \sin(x^3). Se k(v)=\sin v, então k'(v)=\cos v. Como v=x^3 e \frac{d}{dx}[x^3]=3x^2, temos
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(x^3)\bigr] =\cos(x^3)\cdot 3x^2.

Passo 4

Substituindo esse resultado em f'(x), obtemos
f'(x) =4\bigl(\sin(x^3)\bigr)^3\;\bigl[\cos(x^3)\cdot 3x^2\bigr] =12\,x^2\,\bigl(\sin(x^3)\bigr)^3\cos(x^3).

Resposta

f'(x)=12x^2\,\bigl(\sin(x^3)\bigr)^3\cos(x^3).

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