Um dado honesto é lançado sucessivas vezes até que apareça pela primeira vez a face 1. Seja
a variável aleatória que conta o número de ensaios até que corra o primeiro 1. Calcular
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente vai lançar um dado justo até sair a face 1 pela primeira vez. A variável aleatória
conta quantos lançamentos isso demora. O que cai nessa matéria é Distribuição Geométrica (ensaio de Bernoulli repetido até o primeiro “sucesso”). Para resolver, precisamos saber:
- A fórmula da Geométrica:
onde
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio;
2) Como somar probabilidades de eventos mutuamente exclusivos;
3) Às vezes, usar soma de progressão geométrica.
2) Como somar probabilidades de eventos mutuamente exclusivos;
3) Às vezes, usar soma de progressão geométrica.
Passo 2
Primeiro, identificamos o “sucesso”: sair face 1 no dado. Então
A ideia da Geométrica é que, para dar certo só no
-ésimo lançamento, você precisa ter
falhas (
cada) e daí um sucesso (
). Isso vira
Passo 3
Agora queremos
porque esses são casos mutuamente exclusivos (“ou ocorre no 3, ou no 4, ou no 5”).
Passo 4
Basta aplicar a fórmula em cada termo:
Somando tudo, fatoramos
:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Somando dentro dos colchetes com denominador comum
:
Então