Um dado honesto é lançado sucessivas vezes até que apareça pela primeira vez a face 1. Seja X a variável aleatória que conta o número de ensaios até que corra o primeiro 1. Calcular P(3 <= X <= 5)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente vai lançar um dado justo até sair a face 1 pela primeira vez. A variável aleatória Pr(X = k) = (1-p)^,k-1,p, conta quantos lançamentos isso demora. O que cai nessa matéria é Distribuição Geométrica (ensaio de Bernoulli repetido até o primeiro “sucesso”). Para resolver, precisamos saber:
  1. A fórmula da Geométrica:
onde é a probabilidade de sucesso em cada ensaio;
2) Como somar probabilidades de eventos mutuamente exclusivos;
3) Às vezes, usar soma de progressão geométrica.

Passo 2

Primeiro, identificamos o “sucesso”: sair face 1 no dado. Então
p = Pr(1 no dado) = tfrac16, 1-p = tfrac56
A ideia da Geométrica é que, para dar certo só no Pr(X=k) = l(tfrac56r)^k-1,tfrac16 -ésimo lançamento, você precisa ter falhas ( cada) e daí um sucesso ( ). Isso vira

Passo 3

Agora queremos
Pr(3 <= X <= 5) = Pr(X=3) + Pr(X=4) + Pr(X=5),
porque esses são casos mutuamente exclusivos (“ou ocorre no 3, ou no 4, ou no 5”).

Passo 4

Basta aplicar a fórmula em cada termo:
Pr(X=3) = l(tfrac56r)^2,tfrac16, Pr(X=4) = l(tfrac56r)^3,tfrac16, Pr(X=5) = l(tfrac56r)^4,tfrac16
Somando tudo, fatoramos Pr(3<= X<=5) = tfrac16l[(tfrac56)^2 + (tfrac56)^3 + (tfrac56)^4r] :

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
(tfrac56)^2 = tfrac2536,; (tfrac56)^3 = tfrac125216,; (tfrac56)^4 = tfrac6251296
Somando dentro dos colchetes com denominador comum 2536 = 9001296,; 125216 = 7501296,; 6251296;já está certo :
900 + 750 + 625 = 2275, Pr(3<= X<=5) = tfrac16 times tfrac22751296 = tfrac22757776 áá
Então

Resposta

boxedPr(3 <= X <= 5) = 22757776 approx 0,2927

Exercícios relacionados