Suponhamos que em uma indústria farmacêutica 0,001 % de um determinado medicamento sai da linha de produção somente com o excipiente, ou seja, sem nenhum princípio ativo. Qual a probabilidade de que em uma amostra de 4 mil medicamentos mais de 2 deles esteja somente com o excipiente?

Passo 1

O enunciado diz que, numa linha que produz 4 000 remédios, cada item tem probabilidade de 0,001 % (ou seja, ) de sair só com excipiente (isto é, “falha”). A pergunta é: qual a probabilidade de que MAIS DE 2 remédios estejam com falha?
Conteúdo: distribuição Binomial e sua aproximação pela Poisson quando é grande e é muito pequeno. Vamos usar ambos os conceitos do zero.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que o número de falhas X sim Binomial(n=4000,;p=0,00001) em X approx Poisson(lambda),onde;lambda = ncdot p testes segue
Mas calcular termos binomiais com combinações gigantes é chato. Como é grande e é bem pequeno, podemos aproximar por uma Poisson:
Isso simplifica muito o cálculo.

Passo 3

Calculemos lambda = n,p = 4000 times 0,00001 = 0,04 :
Ou seja, esperamos em média 0,04 falhas.

Passo 4

Queremos P(X > 2) ;=; 1 ;-; l[P(0)+P(1)+P(2)r], . Pela Poisson:
P(k) = e^-lambda,lambda^kk!
onde
P(0)&=e^-0.040.04^00!=e^-0.04, P(1)&=e^-0.040.04^11!=0.04,e^-0.04, P(2)&=e^-0.040.04^22!=0.0008,e^-0.04
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P(0)+P(1)+P(2) =e^-0.04l(1 + 0.04 + 0.0008r) approx e^-0.04times1,0408
Somando:

Passo 5

Agora usamos P(X<=2)approx0,96079times1,0408approx0,999986, :
P(X>2)=1 - 0,999986 approx 0,000014
então

Resposta

A probabilidade de ter mais de 2 remédios sem princípio ativo é, aproximadamente,
boxedP(X>2)approx0,000014(ou 1,4times10^-5)

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