Um dado honesto é rolado. Chame o resultado de X. A seguir lançamos um moeda X vezes. Seja Y o total de caras.
Determine a função probabilidade condicional de Y dado X=i, i=1,2,3,4,5,6.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que a gente first joga um dado honesto e chama o resultado de X (que pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Depois, com esse X em mãos, a gente joga uma moeda X vezes e conta quantas caras saem – esse total de caras é Y. A tarefa é achar a probabilidade de Y dado que X = i, para cada i de 1 a 6.
Conteúdo: probabilidade condicional e distribuição binomial.
O que precisamos saber:
  • Se você fizer n lançamentos independentes de uma moeda com probabilidade p de dar cara, o número de caras segue a distribuição binomial.
  • A fórmula da binomial: P(Y=k)=binomnk,p^k,(1-p)^,n-k

Passo 2

Agora, quando condicionamos em X=i, significa que sabemos que a moeda vai ser lançada exatamente i vezes. Nessas i tentativas:
  1. Cada lançamento é independente (o resultado de um não afeta o outro).
  2. A chance de cara em cada tentativa é p=1/2 (moeda honesta).
    Então, por definição de binomial, o número de caras Y, dado X=i, satisfaz
Ymid(X=i)sim Binomiall(n=i,;p=tfrac12r)
Aplicando a fórmula: para j = 0,1,2,…,i,
Pl(Y=j mid X=ir) =binomij,l(tfrac12r)^j, l(1-tfrac12r)^,i-j =binomij,l(tfrac12r)^i

Resposta

Para todo i=1,2,…,6 e j=0,1,…,i, vale
Pl(Y=j mid X=ir) = binomij,l(tfrac12r)^i

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