Um dado honesto é rolado. Chame o resultado de X. A seguir lançamos um moeda
vezes. Seja
o total de caras.
Determine a função probabilidade condicional de
dado
.
Determine a função probabilidade condicional de
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que a gente first joga um dado honesto e chama o resultado de X (que pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Depois, com esse X em mãos, a gente joga uma moeda X vezes e conta quantas caras saem – esse total de caras é Y. A tarefa é achar a probabilidade de Y dado que X = i, para cada i de 1 a 6.
Conteúdo: probabilidade condicional e distribuição binomial.
O que precisamos saber:
Conteúdo: probabilidade condicional e distribuição binomial.
O que precisamos saber:
- Se você fizer n lançamentos independentes de uma moeda com probabilidade p de dar cara, o número de caras segue a distribuição binomial.
- A fórmula da binomial:
Passo 2
Agora, quando condicionamos em X=i, significa que sabemos que a moeda vai ser lançada exatamente i vezes. Nessas i tentativas:
- Cada lançamento é independente (o resultado de um não afeta o outro).
- A chance de cara em cada tentativa é p=1/2 (moeda honesta).
Então, por definição de binomial, o número de caras Y, dado X=i, satisfaz
Aplicando a fórmula: para j = 0,1,2,…,i,
Resposta
Para todo i=1,2,…,6 e j=0,1,…,i, vale