Um dado honesto é rolado. Chame o resultado de
. A seguir sorteamos aleatoriamente um número no conjunto
. Seja
o número sorteado.
Determine a função de probabilidade condicional de
dado
.
Determine a função de probabilidade condicional de
Passo 1
O enunciado diz o seguinte: a gente joga um dado justo e chama de X o número que saiu (1,2,…,6). Depois, com esse X em mãos, sorteia aleatoriamente um número de 1 até X e chama esse sorteio de Y. O que a gente quer é a função de probabilidade condicional
O conteúdo aqui é Probabilidade Condicional e Regra da Probabilidade Total. Para resolver, a gente vai precisar de:
- P(X=x) (é 1/6 porque o dado é justo).
- P(Y=i|X=x) (é 1/x se i≤x, e 0 se i>x).
- A fórmula geral
e a Regra da Probabilidade Total para achar
.
Passo 2
Vamos achar primeiro P(X=x) e P(Y=i|X=x):
- Como o dado é justo, para qualquer
,
- Dado que
, Y é uniformemente sorteado em . Então
Assim o produto para a probabilidade conjunta é
Passo 3
Agora aplicamos a Regra da Probabilidade Total para achar
:
Note que a soma começa em
, porque para
não dá para sortear
.
Passo 4
Finalmente, usamos a definição de probabilidade condicional:
E para
, a probabilidade é zero, porque não podia ter sorteado
.
Resposta
Para cada
e cada
,