Um dado honesto é rolado. Chame o resultado de X. A seguir sorteamos aleatoriamente um número no conjunto 1, ldots, X. Seja Y o número sorteado.
Determine a função de probabilidade condicional de X dado Y=i, i=1,2,3,4,5,6.

Passo 1

O enunciado diz o seguinte: a gente joga um dado justo e chama de X o número que saiu (1,2,…,6). Depois, com esse X em mãos, sorteia aleatoriamente um número de 1 até X e chama esse sorteio de Y. O que a gente quer é a função de probabilidade condicional
P(X=x mid Y=i), i=1,2,dots,6
O conteúdo aqui é Probabilidade Condicional e Regra da Probabilidade Total. Para resolver, a gente vai precisar de:
  1. P(X=x) (é 1/6 porque o dado é justo).
  2. P(Y=i|X=x) (é 1/x se i≤x, e 0 se i>x).
  3. A fórmula geral
P(X=xmid Y=i)=P(X=x,Y=i)P(Y=i)
e a Regra da Probabilidade Total para achar .

Passo 2

Vamos achar primeiro P(X=x) e P(Y=i|X=x):
  • Como o dado é justo, para qualquer P(X=x)=16 ,
P(Y=imid X=x)= 1x,&se 1<= i<= x, 0,&se i>x
  • Dado que P(X=x,Y=i)=P(X=x),P(Y=imid X=x) =16cdot1x(para x>= i) , Y é uniformemente sorteado em . Então
Assim o produto para a probabilidade conjunta é

Passo 3

Agora aplicamos a Regra da Probabilidade Total para achar P(Y=i) =sumx=1^6 P(X=x),P(Y=imid X=x) =sumx=i^6 16cdot1x =16sumx=i^61x :
Note que a soma começa em , porque para não dá para sortear .

Passo 4

Finalmente, usamos a definição de probabilidade condicional:
P(X=xmid Y=i) =P(X=x,Y=i)P(Y=i) =16cdot1x16sumk=i^61k =1xsumk=i^61k, x=i,i+1,dots,6
E para , a probabilidade é zero, porque não podia ter sorteado .

Resposta

Para cada P(X=xmid Y=i) = tfrac1xsumk=i^61k,&x>= i,[6pt] 0,&x e cada ,

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