A densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y)=x e^-x(y+1), x, y>0
Determine a densidade condicional de Y dado X=x.

Passo 1

Beleza, tenho um exercício de probabilidade aqui. A densidade conjunta de duas variáveis aleatórias f(x, y) ;=; x,e^-x(y+1), x>0,; y>0 e fYmid X(ymid x) é dada por
fYmid X(ymid x) ;=; f(x,y)fX(x)
A gente precisa encontrar a densidade condicional de dado , ou seja,
Conteúdo usado: densidade marginal, densidade condicional e integração. A gente vai primeiro calcular a densidade marginal de , , e depois usar a fórmula

Passo 2

Calcular fX(x) ;=; integral0^infty f(x,y),dy ;=;integral0^infty x,e^-x(y+1),dy integrando a densidade conjunta em fX(x) = x,e^-x,integral0^infty e^-x y,dy :
Explicando: como é tratado como constante na integração em , a gente tem
E (é a integral de uma exponencial).

Passo 3

Substituindo fX(x) = x,e^-x cdot 1x = e^-x, x>0 em :
Ou seja, por si só é exponencial com parâmetro 1.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de densidade condicional:
fYmid X(ymid x) = f(x,y)fX(x) = x,e^-x(y+1)e^-x
A gente cancela fYmid X(ymid x) = x,e^-x y - x + x = x,e^-x y, y>0 :

Resposta

boxedfYmid X(ymid x)=x,e^-x y, y>0
Ou seja, dado , é exponencial com taxa .

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