A densidade conjunta de
e
é dada por
Determine a densidade condicional de
dado
.
Passo 1
Beleza, tenho um exercício de probabilidade aqui. A densidade conjunta de duas variáveis aleatórias
e
é dada por
A gente precisa encontrar a densidade condicional de
dado
, ou seja,
Conteúdo usado: densidade marginal, densidade condicional e integração. A gente vai primeiro calcular a densidade marginal de
,
, e depois usar a fórmula
Passo 2
Calcular
integrando a densidade conjunta em
:
Explicando: como
é tratado como constante na integração em
, a gente tem
E
(é a integral de uma exponencial).
Passo 3
Substituindo
em
:
Ou seja,
por si só é exponencial com parâmetro 1.
Passo 4
Agora aplicamos a definição de densidade condicional:
A gente cancela
:
Resposta
Ou seja, dado
,
é exponencial com taxa
.