Um dado honesto é rolado. Chame o resultado de X. A seguir lançamos um moeda X vezes. Seja Y o total de caras.
Determine a função de probabilidade conjunta de X e Y.

Passo 1

Beleza, então o que a questão diz é: primeiro a gente rola um dado honesto e chama o resultado de (podendo ser 1, 2, …, 6). Depois, com base nesse , a gente joga uma moeda vezes e anota quantas caras saem, que é o .
Conteúdo: probabilidade condicional e distribuição binomial. Vamos usar:
  1. para o dado;
  2. para o número de caras em lançamentos (binomial);
  3. regra do produto para achar .

Passo 2

Primeiro, a probabilidade de tirar P(X=x) = 16, x = 1,2,dots,6 num dado honesto de 6 faces é uniforme.
Então
Isso porque cada face tem a mesma chance de aparecer.

Passo 3

Agora, dado que P(Y=y mid X=x) = binomxyl(tfrac12r)^yl(tfrac12r)^,x-y = binomxyl(tfrac12r)^x, , a gente vai lançar a moeda vezes e contar caras. Isso segue a distribuição binomial com parâmetro e . A fórmula é:
válido para . Aqui é “x escolhe y” – o número de jeitos de escolher quais lançamentos deram cara.

Passo 4

Agora junta tudo com a regra do produto:
P(X=x,Y=y) = P(X=x),P(Y=ymid X=x) = 16;binomxyl(tfrac12r)^x,
mas só faz sentido quando está entre 1 e 6 e entre 0 e . Fora disso, a probabilidade é zero.

Resposta

P(X=x,Y=y) = dfrac16,binomxyl(tfrac12r)^x, &x=1,2,dots,6, y=0,1,dots,x,[1em] 0,&caso contrário á

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