Questão 2. Verifique se os pares de funções abaixo são L.D. ou L.I.
f(x)=sen^2 x e g(x)=1-cos (2 x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções f(x)= sin^2 x e g(x)= 1-cos(2x) são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.). O conteúdo envolvido é dependência linear em espaço de funções e vamos precisar da definição de combinação linear e de uma identidade trigonométrica.

Passo 2

Funções f e g são linearmente dependentes se existirem constantes c₁ e c₂, não ambas nulas, tais que c₁f(x)+c₂g(x)=0 para todo x. Para testar isso, buscamos expressar uma função em termos da outra usando identidades trigonométricas.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica:
1-cos(2x)=2sin^2 x
Isso mostra que g(x)=1-\cos(2x)=2\sin^2 x=2f(x). Logo, g(x)−2f(x)=0 para todo x, ou seja, existe combinação linear não trivial.

Passo 4

Como encontramos a relação g(x)−2f(x)=0, concluímos que f e g são linearmente dependentes.

Resposta

As funções são linearmente dependentes.

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