Questão 2. Verifique se os pares de funções abaixo são L.D. ou L.I.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções f(x)=
e g(x)=
são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.). O conteúdo envolvido é dependência linear em espaço de funções e vamos precisar da definição de combinação linear e de uma identidade trigonométrica.
Passo 2
Funções f e g são linearmente dependentes se existirem constantes c₁ e c₂, não ambas nulas, tais que c₁f(x)+c₂g(x)=0 para todo x. Para testar isso, buscamos expressar uma função em termos da outra usando identidades trigonométricas.
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica:
Isso mostra que g(x)=1-\cos(2x)=2\sin^2 x=2f(x). Logo, g(x)−2f(x)=0 para todo x, ou seja, existe combinação linear não trivial.
Passo 4
Como encontramos a relação g(x)−2f(x)=0, concluímos que f e g são linearmente dependentes.
Resposta
As funções são linearmente dependentes.