Num dado instante t uma partícula de massa 3,5 k g está na posição \vec{r}=3,0 m \hat{\imath}+4.2 m \hat{\jmath} e velocidade \vec{v}=-5.0 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \hat{\jmath}. Nesse mesmo instante há uma força \vec{F}=-4,5 N \hat{\imath} sobre ela. Determine
o momento angular da partícula em torno da origem:

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (estou apenas listando o que temos e o que pedem):
\text{massa } m = 3,5\\ \mathrm{kg}
\vec{r} = 3,0\\ \mathrm{m}\\ \hat{\imath} + 4,2\\ \mathrm{m}\\ \hat{\jmath}
\vec{v} = -5,0\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\ \hat{\jmath}
\vec{F} = -4,5\\ \mathrm{N}\\ \hat{\imath} \quad\text{(força dada, não solicitada diretamente)}çã
O que a questão pede:
  • Determinar o momento angular da partícula em torno da origem, isto é \vec{L} no instante dado.

Passo 2

Entendendo o que é preciso calcular (aula rápida e prática):
  • Primeiro conceito: momento linear (impulso) \vec{p}. Ele é definido por
\vec{p} = m\,\vec{v},
onde m é a massa (em \mathrm{kg}) e \vec{v} a velocidade (em \mathrm{m/s}). O resultado tem unidades \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Segundo conceito: momento angular (ou momento cinético) \vec{L} de uma partícula em relação à origem. Ele é definido por
\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p},
ou seja, o produto vetorial entre o vetor posição \vec{r} e o momento linear \vec{p}. O resultado tem unidades \mathrm{kg\cdot m^2/s}.
  • Observação prática: como tudo está no plano xy (componentes em \hat{\imath} e \hat{\jmath} apenas), o produto vetorial ficará puramente na direção \hat{k} (para cima ou para baixo), e podemos calcular só a componente L_z usando a fórmula escalar
L_z = r_x p_y - r_y p_x.

Passo 3

Calcular o momento linear \vec{p}:
  • Usando \vec{p}=m\vec{v}, substituímos os valores dados:
\vec{v} = -5,0\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\ \hat{\jmath}\quad\Rightarrow\quad \vec{p}=3,5\cdot\bigl(-5,0\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\bigr)\hat{\jmath}.
  • Multiplicando escalarmente:
\vec{p} = -17,5\\ \mathrm{kg\cdot m/s}\\ \hat{\jmath}.
Escrevendo em componentes (colocando componente x, y, z):
\vec{p} = (0,\,-17,5,\,0)\quad\text{(em unidades de }\mathrm{kg\cdot m/s}\text{)}.

Passo 4

Preparar os componentes de \vec{r} e \vec{p} para o produto vetorial:
\vec{r} = (r_x,r_y,r_z) = (3,0,\;4,2,\;0)\\ \mathrm{m}
\vec{p} = (p_x,p_y,p_z) = (0,\;-17,5,\;0)\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
(Atenção: coloquei r_z=0 e p_x=0,p_z=0 conforme os dados.)

Passo 5

Calcular o produto vetorial \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p} componente a componente usando a fórmula
\vec{r}\times\vec{p} = \bigl(r_y p_z - r_z p_y\bigr)\hat{\imath} + \bigl(r_z p_x - r_x p_z\bigr)\hat{\jmath} + \bigl(r_x p_y - r_y p_x\bigr)\hat{k}.
Agora substituímos os números:
  • Componente \hat{\imath}:
L_x = r_y p_z - r_z p_y = 4,2\cdot 0 - 0\cdot(-17,5) = 0.
  • Componente \hat{\jmath}:
L_y = r_z p_x - r_x p_z = 0\cdot 0 - 3,0\cdot 0 = 0.
  • Componente \hat{k}:
L_z = r_x p_y - r_y p_x = 3,0\cdot(-17,5) - 4,2\cdot 0 = -52,5.
Note que a unidade é \mathrm{kg\cdot m^2/s}.

Passo 6

Interpretando o resultado:
  • O momento angular é não-nulo só na direção \hat{k} (perpendicular ao plano xy).
  • O sinal negativo de L_z indica que o vetor \vec{L} aponta na direção -\hat{k} (para baixo, pelo produto vetorial padrão).
  • (Comentário extra rápido e útil para prova) Se quisesse relacionar com a força, a taxa de variação do momento angular em relação ao tempo é o torque \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}. Aqui foi dada \vec{F}, mas a questão pediu só \vec{L}.

Resposta

\vec{L} = -52,5\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}\\ \hat{k}

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