ache o valor médio da função seno no intervalo [0, \pi]. Ache também o menor valor de x onde ocorre o valor médio. Dê uma interpretação geométrica dos resultados.
Passo 1
O enunciado dá a integral
\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx=2
e pede duas coisas:
Achar o valor médio da função seno no intervalo [0,\pi].
Achar o menor valor de x em [0,\pi] onde a função seno atinge esse valor médio.
Informações relevantes fornecidas:
Nenhuma outra informação é necessária para começar.
Passo 2
Definição e ideia do valor médio de uma função (aula rápida e intuitiva).
Se f é contínua em [a,b], o valor médio de f nesse intervalo é a altura \overline{f} da reta horizontal (retângulo) com base b-a que tem a mesma área que a área sob a curva y=f(x) entre a e b. Matematicamente:
\overline{f}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Explicando cada parte:
f(x) é a função cujo valor médio queremos (aqui f(x)=\sin x).
a e b são as extremidades do intervalo (aqui a=0, b=\pi).
\int_{a}^{b} f(x)\,dx é a área sob f entre a e b.
Dividindo essa área por b-a obtemos a altura média (como dividir a área por a largura para obter a altura de um retângulo).
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso:
Aqui a=0, b=\pi e \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=2. Logo
Interpretação numérica rápida (para sentir o número): usando \pi\approx 3,14159,
\frac{2}{\pi}\approx 0,63662.
Observação: \frac{2}{\pi} está entre 0 e 1, como esperado, porque \sin x varia entre 0 e 1 em [0,\pi].
Passo 4
Agora encontramos os pontos onde \sin x assume esse valor médio. Devemos resolver
\sin x=\frac{2}{\pi}.
No intervalo [0,\pi] a função \sin x atinge cada valor entre 0 e 1 duas vezes (uma subindo em [0,\pi/2] e outra descendo em [\pi/2,\pi]), exceto os extremos. Portanto as soluções em [0,\pi] são
Como a primeira dessas é menor que a segunda, o menor valor de x onde ocorre o valor médio é
x_{\min}=\arcsin\!\left(\frac{2}{\pi}\right).
Estimativa numérica (sem usar cálculo complexo): já que \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}=0,5 e \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071, e \frac{2}{\pi}\approx 0,63662, concluímos que x_{\min} está entre \frac{\pi}{6} e \frac{\pi}{4}. Uma aproximação numérica razoável é
O valor médio \overline{\sin}=\frac{2}{\pi} é a altura de um retângulo de base \pi tal que sua área é igual à área sob a curva y=\sin x entre 0 e \pi. Ou seja, a área do retângulo de base \pi e altura \frac{2}{\pi} é \pi\cdot\frac{2}{\pi}=2, exatamente a mesma área dada pela integral.
Os pontos x=\arcsin\!\left(\frac{2}{\pi}\right) e x=\pi-\arcsin\!\left(\frac{2}{\pi}\right) são os lugares onde a curva y=\sin x cruza a linha horizontal y=\frac{2}{\pi}. O menor desses é o primeiro ponto de interseção à direita de x=0.
Visualizando: imagine desenhar a curva seno entre 0 e \pi e traçar uma linha horizontal na altura \frac{2}{\pi}. Essa linha corta a curva em dois pontos simétricos em torno de \frac{\pi}{2}; a área abaixo da curva acima do eixo x é a mesma área que o retângulo de altura \frac{2}{\pi}.