Dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem 3 :
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ 3 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Calcule os seguintes determinantes:
\operatorname{det}\left(B^{2} \cdot A^{T}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem 3:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\\\ 3 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
e pede que calculemos o determinante de B^{2}\cdot A^{T}.
Informações relevantes que temos explicitamente:
A,\quad B \text{ (matrizes }3\times3).
O que o problema pede:
Calcular \det\big(B^{2}\cdot A^{T}\big).

Passo 2

Vamos usar propriedades dos determinantes para simplificar a expressão antes de calcular diretamente:
  • Propriedade multiplicativa: para matrizes quadradas compatíveis, \det(XY)=\det(X)\det(Y).
  • Propriedade da transposição: para qualquer matriz quadrada M, \det(M^{T})=\det(M).
    Aplicando essas propriedades a \det\big(B^{2}\cdot A^{T}\big) obtemos:
\det\big(B^{2}\cdot A^{T}\big)=\det(B^{2})\cdot\det(A^{T}).
Como \det(A^{T})=\det(A) e \det(B^{2})=\det(B\cdot B)=\det(B)\det(B)=\det(B)^{2}, segue que
\det\big(B^{2}\cdot A^{T}\big)=\det(B)^{2}\cdot\det(A).
Portanto, basta calcular \det(A) e \det(B) e combinar.

Passo 3

Vou lembrar uma forma prática de calcular determinantes 3\times3: a regra de Sarrus. Para
M=\begin{pmatrix}a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i\end{pmatrix}
temos
\det(M)=a e i + b f g + c d h - (c e g + b d i + a f h).
Agora aplico essa regra na matriz A.
Para A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}, identifique:
a=2,\; b=1,\; c=0,\; d=-1,\; e=3,\; f=4,\; g=1,\; h=2,\; i=1.
Calculemos os termos positivos:
a e i = 2\cdot 3 \cdot 1 = 6,
b f g = 1\cdot 4 \cdot 1 = 4,
c d h = 0\cdot (-1)\cdot 2 = 0.
Soma dos positivos: 6+4+0=10.
Calculemos os termos subtraídos:
c e g = 0\cdot 3 \cdot 1 = 0,
b d i = 1\cdot (-1)\cdot 1 = -1,
a f h = 2\cdot 4 \cdot 2 = 16.
Soma dos subtraídos: 0 + (-1) + 16 = 15.
Então
\det(A)=10 - 15 = -5.

Passo 4

Agora calculo \det(B) usando a mesma regra de Sarrus.
Para B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\\\ 3 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}, identifique:
a=1,\; b=0,\; c=2,\; d=3,\; e=-2,\; f=1,\; g=0,\; h=1,\; i=1.
Termos positivos:
a e i = 1\cdot (-2)\cdot 1 = -2,
b f g = 0\cdot 1 \cdot 0 = 0,
c d h = 2\cdot 3 \cdot 1 = 6.
Soma dos positivos: -2 + 0 + 6 = 4.
Termos subtraídos:
c e g = 2\cdot (-2)\cdot 0 = 0,
b d i = 0\cdot 3 \cdot 1 = 0,
a f h = 1\cdot 1 \cdot 1 = 1.
Soma dos subtraídos: 0 + 0 + 1 = 1.
Então
\det(B)=4 - 1 = 3.

Passo 5

Agora uso a fórmula obtida no Passo 2:
\det\big(B^{2}\cdot A^{T}\big)=\det(B)^{2}\cdot\det(A).
Substituindo os valores encontrados:
\det(B)=3,\qquad \det(A)=-5,
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\det\big(B^{2}\cdot A^{T}\big)=3^{2}\cdot(-5)=9\cdot(-5)=-45.

Resposta

-45

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