Dado que integral ln x d x=x(ln x-1)+C, integrando por partes integral(ln x)^2 d x, obtemos
Escolha uma opção:
(ln x)^33+C
x[(ln x)^2-ln x+2]+C
ln x+C
x[(ln x)^2-2 ln x]+C
x[(ln x)^2-2 ln x+2]+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de (ln x)^2 usando o método de integração por partes. Para isso, vamos lembrar como funciona esse método e identificar as partes que vamos usar na fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nesse caso, precisamos escolher o que será u e o que será dv. Geralmente, escolhemos u como a função que se simplifica ao derivar e dv como a parte restante da integral.

Passo 3

Para a nossa integral integral (ln x)^2 , dx, vamos escolher:
u = (ln x)^2 e dv = dx
Agora, vamos calcular du e v:
du = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx
v = integral dv = integral dx = x

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral (ln x)^2 , dx = uv - integral v , du
= x (ln x)^2 - integral x cdot 2 ln xx , dx
= x (ln x)^2 - 2 integral ln x , dx

Passo 5

A gente já sabe que:
integral ln x , dx = x (ln x - 1) + C
Então, substituindo na equação anterior:
integral (ln x)^2 , dx = x (ln x)^2 - 2 [ x (ln x - 1) ] + C

Passo 6

Agora, vamos distribuir o -2:
= x (ln x)^2 - 2x ln x + 2x + C
Podemos fatorar x para simplificar:
= x [ (ln x)^2 - 2 ln x + 2 ] + C

Resposta

A solução da integral é:
x[(ln x)^2-2 ln x+2]+C

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