Seja
o conjunto dos divisores positivos do número
e sejam as operações sobre os elementos de
definidas por
e
: Mostre que para as operações
Passo 1
O enunciado diz que temos o conjunto
e definimos em
as operações “soma” e “produto” por
além do “complemento”
O objetivo é mostrar que com essas operações
forma uma álgebra de Boole.
Passo 2
Primeiro a gente verifica que se
e
dividem
, então
e
também dividem
.
Isto garante que as operações são fechadas em .
Isto garante que as operações são fechadas em
Passo 3
Mostramos em seguida que as operações são comutativas e associativas, porque tanto a função
quanto
têm essas propriedades:
Passo 4
Cada operação é idempotente:
$$a*a=\gcd(a,a)=a,\qquad a+a=\operatorname{lcm}(a,a)=a.
Passo 5
Em seguida verificamos a distributividade mútua, outra propriedade de reticulado distributivo:
$$a*(b+c)=\gcd\bigl(a,\operatorname{lcm}(b,c)\bigr)=\operatorname{lcm}\bigl(\gcd(a,b),\gcd(a,c)\bigr)=(ab)+(ac).
$$
Passo 6
Identificamos os elementos neutros: para “+” (
) o neutro é
, pois
, e para “*” (
) o neutro é
, pois
quando
.
Passo 7
Por fim, o “complemento” satisfaz
a parte superior e inferior do reticulado:
a parte superior e inferior do reticulado:
$$a*a’=\gcd\bigl(a,\tfrac Na\bigr)=1.
$$
Isso mostra que todo elemento tem complemento e que o reticulado é complementar e distributivo, ou seja, é uma álgebra de Boole.
Isso mostra que todo elemento tem complemento e que o reticulado é complementar e distributivo, ou seja, é uma álgebra de Boole.