Seja DN subset N o conjunto dos divisores positivos do número N e sejam as operações sobre os elementos de DN definidas por a+b=mmc(a, b), a * b=mdc(a, b) e a^prime=N / a: Mostre que para as operações

Passo 1

O enunciado diz que temos o conjunto
DN=din N: dmid N e definimos em DN as operações “soma” e “produto” por
a+b=mmc(a,b), a*b=mdc(a,b)
além do “complemento”
a'= N a
O objetivo é mostrar que com essas operações (DN,+,*,') forma uma álgebra de Boole.

Passo 2

Primeiro a gente verifica que se a e b dividem N, então
mdc(a,b) e mmc(a,b) também dividem N.
Isto garante que as operações são fechadas em DN.

Passo 3

Mostramos em seguida que as operações são comutativas e associativas, porque tanto a função gcd quanto lcm têm essas propriedades:
gcd(a,b)=gcd(b,a),gcd(gcd(a,b),c)=gcd(a,gcd(b,c)),
lcm(a,b)=lcm(b,a),lcm(lcm(a,b),c)=lcm(a,lcm(b,c))

Passo 4

Cada operação é idempotente:
$$a*a=\gcd(a,a)=a,\qquad a+a=\operatorname{lcm}(a,a)=a.
a*a=gcd(a,a)=a, a+a=lcm(a,a)=a çãa+(a*b)=\operatorname{lcm}(a,\gcd(a,b))=a,$$
a+(a*b)=lcm(a,gcd(a,b))=a,

Passo 5

Em seguida verificamos a distributividade mútua, outra propriedade de reticulado distributivo:
a+(b*c)=lcml(a,gcd(b,c)r)=gcdl(lcm(a,b),lcm(a,c)r)=(a+b)*(a+c),
$$a*(b+c)=\gcd\bigl(a,\operatorname{lcm}(b,c)\bigr)=\operatorname{lcm}\bigl(\gcd(a,b),\gcd(a,c)\bigr)=(ab)+(ac).
$$

Passo 6

Identificamos os elementos neutros: para “+” ( lcm) o neutro é 1, pois lcm(1,a)=a, e para “*” ( gcd) o neutro é N, pois gcd(N,a)=a quando amid N.

Passo 7

Por fim, o “complemento” satisfaz
a parte superior e inferior do reticulado:
a+a'=lcml(a,tfrac Nar)=N,
$$a*a’=\gcd\bigl(a,\tfrac Na\bigr)=1.
$$
Isso mostra que todo elemento tem complemento e que o reticulado é complementar e distributivo, ou seja, é uma álgebra de Boole.

Resposta

(DN,+,*,') é uma álgebra de Boole.

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