Seja
. (a) Calcule a corrente que atravessa o plano
na direção
para
. (b) Calcule
. © Calcule a corrente que atravessa a superfície fechada (e sai dela), definida por
e
. (d) Mostre que o teorema da divergência é satisfeito para
e para a superfície especificada em ©.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de eletromagnetismo envolvendo densidade de corrente elétrica. A densidade de corrente é dada por:
O exercício pede para calcular diferentes correntes que atravessam superfícies específicas e verificar o teorema da divergência. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e divergência.
Passo 2
Parte (a): Calcular a corrente que atravessa o plano $ z = 0,2 $ na direção $ \mathbf{a}_{z} $ para $ \rho < 0,4 $.
Primeiro, vamos lembrar que a corrente que atravessa uma superfície é dada pela integral de superfície da componente da densidade de corrente perpendicular à superfície. Como a superfície é o plano $ z = 0,2 $ e estamos interessados na direção $ \mathbf{a}_{z} $, precisamos calcular:
Onde $ J_z = -\frac{20}{\rho^{2} + 0,01} $ A/m² e $ dS = \rho , d\rho , d\phi $ em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Vamos configurar a integral em coordenadas cilíndricas. Para $ \rho < 0,4 $ e $ z = 0,2 $, os limites são:
Então, a corrente $ I $ é:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em $ \rho $:
Avaliado de 0 a 0,4:
Agora, integramos em $ \phi $:
Resposta
Parte (a): A corrente que atravessa o plano $ z = 0,2 $ na direção $ \mathbf{a}_{z} $ para $ \rho < 0,4 $ é: