Seja J=25 / rho arho-20 /(rho^2+0,01) az A / m^2. (a) Calcule a corrente que atravessa o plano z=0,2 na direção az para rho<0,4. (b) Calcule partial rhonu / partial t. © Calcule a corrente que atravessa a superfície fechada (e sai dela), definida por rho=0,01, rho=0,4, z=0 e z=0,2. (d) Mostre que o teorema da divergência é satisfeito para J e para a superfície especificada em ©.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de eletromagnetismo envolvendo densidade de corrente elétrica. A densidade de corrente é dada por:
J = 25rho arho - 20rho^2 + 0,01 az A/m^2
O exercício pede para calcular diferentes correntes que atravessam superfícies específicas e verificar o teorema da divergência. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e divergência.

Passo 2

Parte (a): Calcular a corrente que atravessa o plano $ z = 0,2 $ na direção $ \mathbf{a}_{z} $ para $ \rho < 0,4 $.
Primeiro, vamos lembrar que a corrente que atravessa uma superfície é dada pela integral de superfície da componente da densidade de corrente perpendicular à superfície. Como a superfície é o plano $ z = 0,2 $ e estamos interessados na direção $ \mathbf{a}_{z} $, precisamos calcular:
z = 0,2
Onde $ J_z = -\frac{20}{\rho^{2} + 0,01} $ A/m² e $ dS = \rho , d\rho , d\phi $ em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Vamos configurar a integral em coordenadas cilíndricas. Para $ \rho < 0,4 $ e $ z = 0,2 $, os limites são:
rho < 0,4
Então, a corrente $ I $ é:
z = 0,2

Passo 4

Vamos resolver a integral:
I = -20 integral0^2pi dphi integral0^0,4 rhorho^2 + 0,01 , drho
Primeiro, integramos em $ \rho $:
rho
Avaliado de 0 a 0,4:
integral rhorho^2 + 0,01 , drho = 12 ln(rho^2 + 0,01)
Agora, integramos em $ \phi $:
12 ln(0,4^2 + 0,01) - 12 ln(0 + 0,01) = 12 ln(0,170,01) = 12 ln(17)

Resposta

Parte (a): A corrente que atravessa o plano $ z = 0,2 $ na direção $ \mathbf{a}_{z} $ para $ \rho < 0,4 $ é:
z = 0,2

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