Demonstre as seguintes afirmações, supondo
e
variáveis aleatórias quaisquer e
:
Passo 1
Beleza, então o que a questão quer? Ela pede para mostrar que, dado qualquer variável aleatória
e
e um número real
, vale a fórmula
O conteúdo aqui é a propriedade de linearidade da covariância, e para provar isso a gente vai usar:
- a definição de covariância,
- a propriedade da esperança de “fatorar constantes” para fora.
Passo 2
Primeiro, lembra da definição de covariância entre duas variáveis aleatórias
e
:
Então, no nosso caso, basta substituir
e
:
Já anota aí que a gente ainda não mexeu em nada além de botar
no lugar de
.
Passo 3
Agora a gente usa duas coisinhas:
- (porque a esperança “puxa” constante pra fora).
- Se dentro de uma esperança há um produto em que um fator é constante, dá pra puxar esse fator pra fora também: .
Aplicando isso, dentro do colchete:
Logo
E a última esperança ali é justamente .