Demonstre as seguintes afirmações, supondo X e Y variáveis aleatórias quaisquer e a, b in R :
Cov(X, b Y)=b Cov(X, Y)

Passo 1

Beleza, então o que a questão quer? Ela pede para mostrar que, dado qualquer variável aleatória Cov(X,,bY) ;=; b;Cov(X,,Y) e e um número real , vale a fórmula
O conteúdo aqui é a propriedade de linearidade da covariância, e para provar isso a gente vai usar:
  1. a definição de covariância,
  2. a propriedade da esperança de “fatorar constantes” para fora.

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de covariância entre duas variáveis aleatórias Cov(U, V) ;=; El[(U - E[U]),(V - E[V])r] e Cov(X, bY) =El[(X - E[X]),l(bY - E[bY]r)r] :
Então, no nosso caso, basta substituir e :
Já anota aí que a gente ainda não mexeu em nada além de botar no lugar de .

Passo 3

Agora a gente usa duas coisinhas:
  1. (porque a esperança “puxa” constante pra fora).
  2. Se dentro de uma esperança há um produto em que um fator é constante, dá pra puxar esse fator pra fora também: .
Aplicando isso, dentro do colchete:
Logo
E a última esperança ali é justamente .

Resposta

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