Uma moeda não viciada é lançada 500 vezes. Determinar a probabilidade do número de caras não diferir de 250 em:
mais de 30

Passo 1

O enunciado diz: uma moeda não viciada é lançada 500 vezes. Pedem a probabilidade de que o número de caras não difira de 250 em mais de 30.
Informações dadas:
  • número de ensaios: n=500;
  • probabilidade de cara em cada ensaio: p=\tfrac{1}{2};
  • referência central: 250;
  • queremos a probabilidade do desvio em relação a 250 ser maior que 30, isto é, o evento \{|X-250|>30\}, onde X é o número de caras.

Passo 2

Definimos a variável aleatória do problema: X = número de caras em 500 lançamentos. Como a moeda é justa e os lançamentos independentes, X tem distribuição binomial
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=500,\;p=\tfrac{1}{2}\bigr).
Para a binomial sabemos as fórmulas da média e da variância:
\text{média: }\mu = np, \qquad \text{variância: }\sigma^{2}=np(1-p).éâ
Aqui, calculamos \mu e \sigma^{2}.

Passo 3

Calculemos \mu e \sigma^{2}:
\mu = 500\cdot \tfrac{1}{2} = 250, \qquad \sigma^{2} = 500\cdot \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2} = 125.
A raiz da variância (desvio padrão) é
\sigma = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\approx 11,18034.

Passo 4

O evento pedido é |X-250|>30. Como X é inteira, essa desigualdade é equivalente a
|X-250|>30 \Longleftrightarrow X\le 219\\ \text{ou}\\ X\ge 281.
Ou seja,
\mathbb{P}(|X-250|>30)=\mathbb{P}(X\le 219)+\mathbb{P}(X\ge 281).

Passo 5

Como n é grande, usamos a aproximação normal para a binomial (Teorema do limite central): X pode ser aproximada por uma normal com média \mu e variância \sigma^{2}. Para melhorar a aproximação usamos correção de continuidade: por exemplo, \mathbb{P}(X\le 219) é aproximada por \mathbb{P}(Y\le 219{,}5) onde Y\sim N(\mu,\sigma^{2}); e \mathbb{P}(X\ge 281) por \mathbb{P}(Y\ge 280{,}5).

Passo 6

Padronizamos para a normal padrão Z\sim N(0,1). Temos
\mathbb{P}(X\le 219)\approx \mathbb{P}\!\left(Z\le \frac{219{,}5-\mu}{\sigma}\right), \qquad \mathbb{P}(X\ge 281)\approx \mathbb{P}\!\left(Z\ge \frac{280{,}5-\mu}{\sigma}\right).
Substituindo \mu=250 e \sigma=\sqrt{125}:
\frac{219{,}5-250}{\sqrt{125}}=\frac{-30{,}5}{\sqrt{125}}\approx -2{,}728996,
\frac{280{,}5-250}{\sqrt{125}}=\frac{30{,}5}{\sqrt{125}}\approx 2{,}728996.

Passo 7

Usando simetria da normal obtemos
\mathbb{P}(|X-250|>30)\approx \mathbb{P}\!\left(Z\le -2{,}728996\right)+\mathbb{P}\!\left(Z\ge 2{,}728996\right) =2\mathbb{P}\!\left(Z\le -2{,}728996\right).
Como \mathbb{P}(Z\le -z)=1-\mathbb{P}(Z\le z), escrevemos
\mathbb{P}(|X-250|>30)\approx 2\bigl(1-\Phi(2{,}728996)\bigr),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.

Passo 8

Consultando uma tabela ou calculadora da normal padrão temos aproximadamente
\Phi(2{,}728996)\approx 0{,}99684.
Portanto
\mathbb{P}(|X-250|>30)\approx 2\bigl(1-0{,}99684\bigr)=2\cdot 0{,}00316=0{,}00632.
Ou seja, a probabilidade é cerca de 0{,}00632, isto é, aproximadamente 0{,}632\%. Dá para interpretar: é um evento raro — observar mais de 30 caras de desvio em 500 lançamentos é pouco provável.

Resposta

0,00632

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