Uma moeda não viciada é lançada 500 vezes. Determinar a probabilidade do número de caras não diferir de 250 em:
mais de 30
mais de 30
Passo 1
O enunciado diz: uma moeda não viciada é lançada
vezes. Pedem a probabilidade de que o número de caras não difira de
em mais de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- número de ensaios:
; - probabilidade de cara em cada ensaio:
; - referência central:
; - queremos a probabilidade do desvio em relação a
ser maior que , isto é, o evento , onde é o número de caras.
Passo 2
Definimos a variável aleatória do problema:
= número de caras em
lançamentos. Como a moeda é justa e os lançamentos independentes,
tem distribuição binomial
Para a binomial sabemos as fórmulas da média e da variância:
Aqui, calculamos
e
.
Passo 3
Calculemos
e
:
A raiz da variância (desvio padrão) é
Passo 4
O evento pedido é
. Como
é inteira, essa desigualdade é equivalente a
Ou seja,
Passo 5
Como
é grande, usamos a aproximação normal para a binomial (Teorema do limite central):
pode ser aproximada por uma normal com média
e variância
. Para melhorar a aproximação usamos correção de continuidade: por exemplo,
é aproximada por
onde
; e
por
.
Passo 6
Padronizamos para a normal padrão
. Temos
Substituindo
e
:
Passo 7
Usando simetria da normal obtemos
Como
, escrevemos
onde
é a função de distribuição da normal padrão.
Passo 8
Consultando uma tabela ou calculadora da normal padrão temos aproximadamente
Portanto
Ou seja, a probabilidade é cerca de
, isto é, aproximadamente
. Dá para interpretar: é um evento raro — observar mais de
caras de desvio em
lançamentos é pouco provável.