Uma caixa contém 60 bolas de mesma massa e mesmo tamanho, numeradas de 1 a 60 .
Escolhendo simultaneamente e ao acaso duas bolas da caixa, qual é a probabilidade de que ambas sejam números pares?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao escolher simultaneamente e ao acaso duas bolas de uma caixa com 60 bolas numeradas de 1 a 60, ambas as bolas terem números pares. Informações relevantes que temos:
  • O total de bolas é \,60\,.
  • As bolas estão numeradas de \,1\, a \,60\,.
  • A escolha é simultânea (ou seja, sem reposição).
  • Queremos a probabilidade de que as duas bolas escolhidas sejam pares.

Passo 2

Primeiro passo prático: quantas bolas pares há entre \,1\, e \,60\,? Números pares são aqueles divisíveis por \,2. Entre \,1\, e \,60\, temos todos os inteiros \,2,4,6,\dots,60. A quantidade de termos dessa progressão é \,30\,. Portanto, o número de bolas pares é \,30\,.

Passo 3

Vou usar a regra multiplicativa das probabilidades condicionais (um método muito direto e básico para sem-reposição). A ideia é: a probabilidade de dois eventos acontecerem em sequência é o produto da probabilidade do primeiro evento pela probabilidade do segundo dado que o primeiro ocorreu. Aqui:
  • Evento A: primeira bola é par.
  • Evento B: segunda bola é par dado que a primeira foi par.
    Queremos \mathbb{P}(A\\ \text{e}\\ B)=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(B\mid A).

Passo 4

Calcular \mathbb{P}(A): a probabilidade da primeira bola ser par é a razão entre o número de bolas pares e o total de bolas:
\mathbb{P}(A)=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}.
Expliquei: existem \,30\, pares entre \,60\, bolas, logo metade são pares.

Passo 5

Calcular \mathbb{P}(B\mid A): como a escolha é sem reposição e já saiu uma bola par, restam \,29\, bolas pares e \,59\, bolas no total. Assim
\mathbb{P}(B\mid A)=\frac{29}{59}.
Expliquei: reduzimos tanto o numerador (pares) quanto o denominador (total) em uma unidade.

Passo 6

Multiplicando as duas probabilidades para obter a probabilidade conjunta:
\mathbb{P}(\text{duas pares})=\mathbb{P}(A)\cdot\mathbb{P}(B\mid A)=\frac{1}{2}\cdot\frac{29}{59}=\frac{29}{118}.
Interpretação rápida: cerca de um em cada \,4{,}07\, pares de escolhas (se quiseres a forma decimal, \approx 0{,}2458, ou \,24{,}58\%\,).

Passo 7

(Fica aqui uma verificação alternativa — importante na prova: usar contagem combinatória.) O número de maneiras de escolher 2 bolas pares entre as \,30\, é \binom{30}{2}. O número de maneiras de escolher qualquer 2 bolas entre as \,60\, é \binom{60}{2}. Logo
\mathbb{P}=\frac{\binom{30}{2}}{\binom{60}{2}}=\frac{\dfrac{30\cdot29}{2}}{\dfrac{60\cdot59}{2}}=\frac{30\cdot29}{60\cdot59}=\frac{29}{118},
o mesmo resultado — bom sinal, é consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{29}{118}

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