Uma caixa contém 60 bolas de mesma massa e mesmo tamanho, numeradas de 1 a 60 .
Escolhendo simultaneamente e ao acaso duas bolas da caixa, qual é a probabilidade de que ambas sejam números pares?
Escolhendo simultaneamente e ao acaso duas bolas da caixa, qual é a probabilidade de que ambas sejam números pares?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, ao escolher simultaneamente e ao acaso duas bolas de uma caixa com 60 bolas numeradas de 1 a 60, ambas as bolas terem números pares. Informações relevantes que temos:
- O total de bolas é
. - As bolas estão numeradas de
a . - A escolha é simultânea (ou seja, sem reposição).
- Queremos a probabilidade de que as duas bolas escolhidas sejam pares.
Passo 2
Primeiro passo prático: quantas bolas pares há entre
e
? Números pares são aqueles divisíveis por
. Entre
e
temos todos os inteiros
. A quantidade de termos dessa progressão é
. Portanto, o número de bolas pares é
.
Passo 3
Vou usar a regra multiplicativa das probabilidades condicionais (um método muito direto e básico para sem-reposição). A ideia é: a probabilidade de dois eventos acontecerem em sequência é o produto da probabilidade do primeiro evento pela probabilidade do segundo dado que o primeiro ocorreu. Aqui:
- Evento
: primeira bola é par. - Evento
: segunda bola é par dado que a primeira foi par.
Queremos.
Passo 4
Calcular
: a probabilidade da primeira bola ser par é a razão entre o número de bolas pares e o total de bolas:
Expliquei: existem
pares entre
bolas, logo metade são pares.
Passo 5
Calcular
: como a escolha é sem reposição e já saiu uma bola par, restam
bolas pares e
bolas no total. Assim
Expliquei: reduzimos tanto o numerador (pares) quanto o denominador (total) em uma unidade.
Passo 6
Multiplicando as duas probabilidades para obter a probabilidade conjunta:
Interpretação rápida: cerca de um em cada
pares de escolhas (se quiseres a forma decimal,
, ou
).
Passo 7
(Fica aqui uma verificação alternativa — importante na prova: usar contagem combinatória.) O número de maneiras de escolher 2 bolas pares entre as
é
. O número de maneiras de escolher qualquer 2 bolas entre as
é
. Logo
o mesmo resultado — bom sinal, é consistente.