Um dado é lançado 3 vezes. Qual é a probabilidade de se obter a face 5 duas vezes?

Passo 1

Beleza, o enunciado é: “Um dado é lançado 3 vezes. Qual é a probabilidade de se obter a face 5 duas vezes?”
Isso é um problema de probabilidade discreta, mais especificamente de distribuição binomial. A gente vai precisar saber:
  1. O que é “sucesso” e “falha” num lançamento de dado;
  2. A fórmula da distribuição binomial, que usa combinações e potências;
  3. Como calcular combinações simples (fatorial).

Passo 2

Teoria da Distribuição Binomial
Quando você repete um experimento independente (lançar o dado) várias vezes (n vezes) e quer saber a chance de ter “k sucessos” (a face 5, no nosso caso) exatamente k vezes, usa-se:
P(X = k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k
onde
  • binomnk = n!k!,(n-k)! = número de tentativas (3 lançamentos),
  • = número de sucessos que queremos (2 faces 5),
  • = probabilidade de sucesso em 1 tentativa ( de tirar 5),
  • = probabilidade de não tirar 5 ( ).
Também precisamos saber o que é a combinação
que conta de quantas formas diferentes você pode escolher quais lançamentos “deram” 5.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso
  • n = 3
  • k = 2
  • p = 1/6
Primeiro calculamos a combinação:
binom32 = 3!2!,1! = 3times2times1(2times1)times1 = 3
Isso significa que existem 3 jeitos diferentes de escolher quais 2 lançamentos serão 5.
Agora usamos a fórmula:
P(X=2) = binom32,(1/6)^2,(5/6)^3-2
P(X=2) = 3 times l(16r)^2 times l(56r)^1

Passo 4

Calculando o valor numérico
3 times 16^2 times 56 = 3 times 136 times 56 = 3 times 5216 = 15216 = 572

Resposta

A probabilidade de sair exatamente a face 5 em 2 de 3 lançamentos é .

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