Identifique os Ensaios de Bernoulli e apresente a probabilidade de sucesso e fracasso. Encontre a probabilidade desejada.
Um avião utiliza 4 turbinas, sendo que cada uma tem probabilidade de falhar durante o voo igual a 0,001. Qual é a probabilidade de que todas as turbinas funcionem corretamente?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. O enunciado fala de um avião com 4 turbinas e cada turbina tem probabilidade de falhar igual a 0,001. A gente precisa:
  • Identificar que tipo de experimento é esse (é um conjunto de ensaios de Bernoulli independentes);
  • Apresentar a probabilidade de “sucesso” (turbina funcionando) e de “fracasso” (turbina falhando);
  • Calcular a probabilidade de que todas as turbinas funcionem.
    Pra isso vamos usar a teoria de ensaios de Bernoulli e a distribuição binomial, em especial para o caso de todos darem certo.

Passo 2

Definindo as probabilidades e as variáveis:
  • Sucesso (turbin​a funciona) → .
  • Fracasso (turbin​a falha) → .
  • Número de ensaios (turbinas) → .
    Em um ensaio de Bernoulli a gente só tem dois resultados (sucesso ou fracasso), e os ensaios são independentes, ou seja, o resultado de uma turbina não afeta a outra.

Passo 3

Agora vamos usar a fórmula da distribuição binomial para a probabilidade de exatamente P(X = k) ;=; binomnk,p^k,q^,n-k sucessos em P(X = 4) ;=; binom44,(0,999)^4,(0,001)^0 ensaios:
P(X = 4) = (0,999)^4
No nosso caso queremos todas as 4 turbinas funcionando, ou seja . Então:
A combinação vale 1 e qualquer coisa elevada a zero vale 1, então sobra só:

Passo 4

Basta agora calcular 0,999^2 = 0,998001 Longrightarrow 0,999^4 = (0,998001)^2 approx 0,996006 . A gente pode fazer isso na calculadora:

Resposta

A probabilidade de que todas as turbinas funcionem corretamente é
boxed(0,999)^4 approx 0,996006

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