Dado
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y) = (0,0)\end{array}\right., ache
f_{2}(0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, &\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, &\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede f_{2}(0,0).
Informações relevantes:
  • A função é dada explicitamente para (x,y)\neq(0,0) e vale 0 na origem.
  • A notação f_{2}(0,0) significa a derivada parcial de f em relação à segunda variável (isto é, y) avaliada no ponto (0,0).
    O que se pede: calcular
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0).]

Passo 2

Definição operacional da derivada parcial em y no ponto (0,0): fixando x=0 e variando y, tem-se
f_{2}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h},
desde que esse limite exista. Aqui h é um incremento em y (ou seja, estamos avaliando a taxa de variação de f ao longo do eixo y).

Passo 3

Vamos avaliar f(0,h) para h\neq 0 usando a fórmula válida fora da origem. Substituindo x=0 e y=h na definição da função (lembre-se que isso é um ponto diferente da origem quando h\neq0):
f(0,h)=\frac{0^{3}+h^{3}}{0^{2}+h^{2}}=\frac{h^{3}}{h^{2}}.

Passo 4

Simplificando a expressão obtida em f(0,h) (para h\neq0):
f(0,h)=\frac{h^{3}}{h^{2}}=h.
Também sabemos pelo enunciado que f(0,0)=0.

Passo 5

Agora formamos o quociente incremental da definição da derivada parcial:
\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{h-0}{h}=1\qquad\text{para }h\neq0.
Como esse quociente é a constante 1 para todos os h\neq0, o limite quando h\to0 é simplesmente 1. Portanto o limite existe e vale 1.

Resposta

1

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