Resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
Ou seja, encontrar todas as funções
que satisfazem essa igualdade. As informações dadas são exatamente os coeficientes das derivadas até a quinta ordem; não há termos independentes (é homogênea).
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo, sem pular etapas):
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, tenta-se uma solução do tipo . Substituindo
na equação, cada derivada traz um fator
, por exemplo
. Como
nunca é identicamente zero, isso leva a uma equação algébrica chamada equação característica para
. Resolver essa equação dá os valores de
(raízes), e cada raiz fornece soluções básicas (fundamentais) da EDO; a combinação linear desses fundamentos forma a solução geral.
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, tenta-se uma solução do tipo
Passo 3
Formação da equação característica:
Substituindo e dividindo por
(não nulo), obtemos
Substituindo
Fatorando
(pois todos os termos têm
):
Daí já vemos que uma parte das raízes é
com multiplicidade
(porque do fator
). Agora resolvemos a quadrática restante.
Passo 4
Resolução da quadrática
:
Calcule o discriminante
Calcule o discriminante
Como
, há raízes complexas conjugadas:
Portanto as raízes da equação característica são:
(multiplicidade
) e
(simples).
Passo 5
O que cada tipo de raiz gera como solução fundamental (explicação didática):
- Se
é uma raiz de multiplicidade , então as funções
são soluções linearmente independentes. Intuição curta: multiplicidade maior que 1 aparece porque ao derivar
aparecem combinações que envolvem os mesmos fatores
, e essas potências de
preenchem as dimensões extras exigidas pelo multiplicidade.
- No caso
(multiplicidade ), temos , logo as soluções básicas correspondentes são
Passo 6
Soluções geradas por raízes complexas (explicação didática):
Se aparecer uma raiz complexa (com
), então
e
são soluções complexas conjugadas; usando a fórmula de Euler
Se aparecer uma raiz complexa
obtemos duas soluções reais linearmente independentes:
No nosso caso
e
, portanto as duas soluções reais são
Passo 7
Conjunto de soluções fundamentais e solução geral (conclusão do raciocínio):
As cinco soluções fundamentais obtidas (linearmente independentes) são
As cinco soluções fundamentais obtidas (linearmente independentes) são
Como a equação é de ordem
, a solução geral é a combinação linear dessas cinco fundamentais com constantes arbitrárias. (Cada constante corresponde a uma condição inicial que, em prova, você poderia ajustar.)