Resolva a equação diferencial
y^{(5)}-2 y^{(4)}+17 y^{(3)}=0 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y^{(5)}-2y^{(4)}+17y^{(3)}=0.
Ou seja, encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade. As informações dadas são exatamente os coeficientes das derivadas até a quinta ordem; não há termos independentes (é homogênea).

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo, sem pular etapas):
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, tenta-se uma solução do tipo y=e^{r x}. Substituindo y=e^{r x} na equação, cada derivada traz um fator r, por exemplo y^{(k)}=r^{k}e^{r x}. Como e^{r x} nunca é identicamente zero, isso leva a uma equação algébrica chamada equação característica para r. Resolver essa equação dá os valores de r (raízes), e cada raiz fornece soluções básicas (fundamentais) da EDO; a combinação linear desses fundamentos forma a solução geral.

Passo 3

Formação da equação característica:
Substituindo y=e^{r x} e dividindo por e^{r x} (não nulo), obtemos
r^{5}-2r^{4}+17r^{3}=0.
Fatorando r^{3} (pois todos os termos têm r^{3}):
r^{3}\bigl(r^{2}-2r+17\bigr)=0.
Daí já vemos que uma parte das raízes é r=0 com multiplicidade 3 (porque do fator r^{3}). Agora resolvemos a quadrática restante.

Passo 4

Resolução da quadrática \;r^{2}-2r+17=0:
Calcule o discriminante
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot17 = 4-68 = -64.
Como \Delta<0, há raízes complexas conjugadas:
r=\frac{2\pm\sqrt{-64}}{2}=\frac{2\pm 8i}{2}=1\pm 4i.
Portanto as raízes da equação característica são: r=0 (multiplicidade 3) e r=1+4i,\;1-4i (simples).

Passo 5

O que cada tipo de raiz gera como solução fundamental (explicação didática):
  • Se r_{0} é uma raiz de multiplicidade m, então as funções
e^{r_{0}x},\; x e^{r_{0}x},\; x^{2}e^{r_{0}x},\;\dots,\; x^{m-1}e^{r_{0}x}
são soluções linearmente independentes. Intuição curta: multiplicidade maior que 1 aparece porque ao derivar x^{k}e^{r_{0}x} aparecem combinações que envolvem os mesmos fatores r_{0}, e essas potências de x preenchem as dimensões extras exigidas pelo multiplicidade.
  • No caso r_{0}=0 (multiplicidade 3), temos e^{0x}=1, logo as soluções básicas correspondentes são
1,\; x,\; x^{2}.

Passo 6

Soluções geradas por raízes complexas (explicação didática):
Se aparecer uma raiz complexa r=\alpha+i\beta (com \beta\neq0), então e^{(\alpha+i\beta)x} e e^{(\alpha-i\beta)x} são soluções complexas conjugadas; usando a fórmula de Euler
e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}\bigl(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)\bigr),
obtemos duas soluções reais linearmente independentes:
e^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad e^{\alpha x}\sin(\beta x).
No nosso caso \alpha=1 e \beta=4, portanto as duas soluções reais são
e^{x}\cos(4x),\qquad e^{x}\sin(4x).

Passo 7

Conjunto de soluções fundamentais e solução geral (conclusão do raciocínio):
As cinco soluções fundamentais obtidas (linearmente independentes) são
1,\quad x,\quad x^{2},\quad e^{x}\cos(4x),\quad e^{x}\sin(4x).
Como a equação é de ordem 5, a solução geral é a combinação linear dessas cinco fundamentais com constantes arbitrárias. (Cada constante corresponde a uma condição inicial que, em prova, você poderia ajustar.)

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+e^{x}\bigl(C_{4}\cos(4x)+C_{5}\sin(4x)\bigr)

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