Dado
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y) = (0,0)\end{array}\right., ache
f_{1}(0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0 & \text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o valor de f_{1}(0,0).
Informações relevantes fornecidas:
  • O valor de f no ponto (0,0) é f(0,0)=0.
  • A função está definida por uma expressão racional para (x,y)\neq(0,0).
    O que se pede: calcular a derivada parcial de f em relação à primeira variável (variável x) no ponto (0,0), ou seja f_{1}(0,0).]

Passo 2

Definição prática e o que isso significa na prova. A derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0) é o limite (se existir)
f_{1}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Explicação: aqui “fixa-se” y=0 e varia-se x por uma pequena quantidade h. A expressão dentro do limite é a taxa de variação de f ao deslocar-se ao longo do eixo x passando por (0,0). Na prática, para calcular essa derivada parcial é suficiente substituir y=0 na função, simplificar e calcular o limite do quociente acima.

Passo 3

Calcular f(h,0) para h\neq 0. Usando a expressão para (x,y)\neq(0,0) e substituindo x=h, y=0, obtemos
f(h,0)=\frac{h^{3}+0^{3}}{h^{2}+0^{2}}=\frac{h^{3}}{h^{2}}.
Para h\neq 0 isso simplifica para
f(h,0)=h.

Passo 4

Montar a diferença quociente e simplificar. Substituindo em \displaystyle f_{1}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} temos, lembrando que f(0,0)=0,
f_{1}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{h-0}{h}=\lim_{h\to 0}1.
Como a expressão é constante igual a 1 para todo h\neq 0, o limite quando h\to 0 é simplesmente 1.

Passo 5

Interpretação e pequena verificação mental. O resultado significa que, ao mover-se ao longo do eixo x a partir da origem (mantendo y=0), a função varia com inclinação 1 naquele ponto. Não houve necessidade de considerar caminhos diferentes (isso seria para derivadas direcionais ou para verificar diferenciabilidade), porque a derivada parcial fixa y.

Resposta

1

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