e pede o valor de f_{1}(0,0).
Informações relevantes fornecidas:
O valor de f no ponto (0,0) é f(0,0)=0.
A função está definida por uma expressão racional para (x,y)\neq(0,0).
O que se pede: calcular a derivada parcial de f em relação à primeira variável (variável x) no ponto (0,0), ou seja f_{1}(0,0).]
Passo 2
Definição prática e o que isso significa na prova. A derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0) é o limite (se existir)
f_{1}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Explicação: aqui “fixa-se” y=0 e varia-se x por uma pequena quantidade h. A expressão dentro do limite é a taxa de variação de f ao deslocar-se ao longo do eixo x passando por (0,0). Na prática, para calcular essa derivada parcial é suficiente substituir y=0 na função, simplificar e calcular o limite do quociente acima.
Passo 3
Calcular f(h,0) para h\neq 0. Usando a expressão para (x,y)\neq(0,0) e substituindo x=h, y=0, obtemos
Montar a diferença quociente e simplificar. Substituindo em \displaystyle f_{1}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} temos, lembrando que f(0,0)=0,
Como a expressão é constante igual a 1 para todo h\neq 0, o limite quando h\to 0 é simplesmente 1.
Passo 5
Interpretação e pequena verificação mental. O resultado significa que, ao mover-se ao longo do eixo x a partir da origem (mantendo y=0), a função varia com inclinação 1 naquele ponto. Não houve necessidade de considerar caminhos diferentes (isso seria para derivadas direcionais ou para verificar diferenciabilidade), porque a derivada parcial fixa y.