P O_{A}\left\{\begin{array}{c} u_{t t}=c^{2} u_{x x}, \quad 0<x<L e t>0 \\\ u(0, t)=0=u(L, t), \quad t>0 \\\ u(x, 0)=f(x), \quad 0 \leq x \leq L \\\ u_{t}(x, 0)=0, \quad 0 \leq x \leq L \end{array}\right.
Em que c>0 é a velocidade de propagação da onda e L o seu comprimento, faça o que se pede a seguir
(a) Desenvolva o Método de Separação de Variáveis de Fourier (u(x, t)=F(x) G(t)), determinando a EDO e o problema de Sturm-Liouville associado ao problema bem como seus autovalores e as autofunções associadas;
(b) Determine a solução genérica do problema P O_{A} explicitando a igualdade que define a expansão da condição inicial f(x) em Série de Fourier.
(c) Usando a solução em Série de Fourier doo item (b), mostre como obter a Fórmula de D’Alembert para esse problema;
Observação: \operatorname{sen}(\mathrm{A}) \cos (\mathrm{B})=\frac{1}{2}[\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)]
(d) Determine explicitamente a solução em série e também a solução via Formula de D’Alembert, para f(x)=-x^{2}+\pi x, \quad 0 \leq x \leq \pi.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
O problema é o problema inicial e de contorno da onda P O_{A}:
As perguntas:
(a) Aplicar Separação de Variáveis u(x,t)=F(x)\,G(t): obter as EDOs e o problema de Sturm–Liouville associado, achar autovalores e autofunções.
(b) Determinar a solução geral do problema P O_{A} e explicitar a igualdade que define a expansão de f(x) em série de Fourier (série seno).
(c) A partir da série do item (b), mostrar como obter a fórmula de D’Alembert para este problema (explicar a relação entre série e fórmula).
(d) Tomando f(x)=-x^{2}+\pi x em 0\le x\le\pi (portanto L=\pi), determinar explicitamente
a solução em série, e
a solução via fórmula de D’Alembert (explicitar a forma — e, quando aplicável, a forma simplificada válida enquanto x\pm ct ficar dentro de [0,\pi]).
Dados relevantes: condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(L,t)=0 e condição inicial de velocidade nula u_t(x,0)=0. Não há imagem.]
Passo 2
Separação de Variáveis — derivação do sistema de ODEs e do problema de Sturm–Liouville.
Suponha uma solução do tipo
u(x,t)=F(x)\,G(t),
com F dependendo só de x e G só de t. Substituindo na PDE:
u_{tt}=F(x)G''(t),\qquad u_{xx}=F''(x)G(t).
A PDE u_{tt}=c^{2}u_{xx} torna-se
F(x)G''(t)=c^{2}F''(x)G(t).
Dividindo por c^{2}F(x)G(t) (assumindo F e G não nulos identicamente) obtemos
Esse é o problema de Sturm–Liouville para F com condições de Dirichlet homogêneas. Agora analisamos os possíveis sinais de \lambda.
\lambda<0. Escreva \lambda=-\mu^{2} com \mu>0. Então F''-\mu^{2}F=0 com soluções F=Ae^{\mu x}+Be^{-\mu x}. As condições F(0)=0 e F(L)=0 forçam A+B=0 e Ae^{\mu L}+Be^{-\mu L}=0; a única solução é trivial F\equiv0. Logo nenhum autovalor negativo.
\lambda=0. Então F''=0\Rightarrow F(x)=Ax+B. Impor F(0)=0 dá B=0; impor F(L)=0 dá A L=0\Rightarrow A=0. Só solução trivial. Logo \lambda=0 não é autovalor.
\lambda>0. Escreva \lambda=\kappa^{2}, \kappa>0. A equação é F''+\kappa^{2}F=0 com solução geral
F(x)=A\cos(\kappa x)+B\sin(\kappa x).
Impor F(0)=0 dá A=0. Então
F(x)=B\sin(\kappa x).
Impor F(L)=0 exige B\sin(\kappa L)=0. Para ter F\not\equiv0 precisamos \sin(\kappa L)=0, isto é
Essas funções formam uma base ortogonal (com respeito ao produto interno \int_{0}^{L}\cdot\,\cdot\,dx) das funções que satisfazem as condicionais de contorno.
Passo 3
Equação temporal e forma geral das soluções separáveis.
Para cada \lambda_{n}=\left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^{2} a equação temporal é
E u_{t}(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\big(-A_{n}\omega_{n}\sin(\omega_{n}t)+B_{n}\omega_{n}\cos(\omega_{n}t)\big)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right). Em t=0,
Pela ortogonalidade das funções \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right) no intervalo [0,L], os coeficientes devem satisfazer B_{n}\omega_{n}=0 para todo n. Como \omega_{n}\neq0, concluímos
(Explicação curta: as senos são ortogonais: \int_{0}^{L}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\sin\!\left(\frac{m\pi}{L}x\right)dx=0 para n\ne m e igual a L/2 para n=m. Projectando f nas senos obtemos os A_n.)
Passo 4
Resposta do item (b): solução genérica e igualdade que define a expansão.
Agora veja o que são as séries \sum_{n}A_{n}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{L}y\big) como funções de y: elas são exatamente as séries de Fourier seno de f (isto é, a expansão de f em senos no intervalo [0,L]), mas vistas como funções periódicas e ímpares com período 2L. Em outras palavras, a série de senos representa a extensão ímpar e 2L-periódica de f no eixo real; chamemos essa extensão de f_{\text{odd}}(y). Então cada soma é a reconstrução dessa extensão avaliada em y=x\pm ct:
Isso é a fórmula de D’Alembert adaptada ao problema com condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0: a solução é a média das duas ondas que viajam para a direita e para a esquerda, onde a função de forma usada é a extensão ímpar e 2L-periódica de f.
Resumo conceitual: a série de senos dá a decomposição em modos — usando a identidade trigonométrica transformamos cada modo num par de termos dependentes de x\pm ct; a soma desses termos é precisamente a média \tfrac{1}{2}(f_{\text{odd}}(x+ct)+f_{\text{odd}}(x-ct)). Para velocidade inicial nula, a forma d’Alembert é essa média. Portanto a série e a fórmula de D’Alembert dão a mesma solução, desde que se interprete f estendida de forma ímpar e 2L-periódica.
Passo 6
Cálculo explícito para [f(x)=-x^{2}+\pi x) em 0\le x\le\pi (item (d)). Aqui L=\pi.
Vamos obter os coeficientes A_{n} (chamei antes de A_n) para L=\pi:
onde f_{\text{odd}} é a extensão ímpar de f a \mathbb{R} com período 2\pi.
No caso particular f(x)=-x^{2}+\pi x em [0,\pi], a extensão ímpar para argumentos dentro de [-\pi,\pi] é dada por f_{\text{odd}}(y)= -y^{2}+\pi y se y\in[0,\pi], e f_{\text{odd}}(y)=-f(-y) se y\in[-\pi,0]; depois estende-se com período 2\pi. Assim a expressão d’Alembert é
válido enquanto ct\le\min\{x,\pi-x\}. Isso corresponde à interpretação física: antes das reflexões nas extremidades, a solução é a média direta das duas ondas sem interpolações.
Por fim, a série encontrada no Passo 6 e a expressão de D’Alembert com f_{\text{odd}} coincidem para todo x,t (a igualdade é a equivalência entre a expansão em Fourier seno e a representação por deslocamentos x\pm ct da extensão ímpar).]
(b) \displaystyle u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos\!\left(\frac{c n\pi}{L}t\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right), com \displaystyle A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx. Igualdade de expansão: \displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
(c) Usando \sin(A)\cos(B)=\tfrac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)] transforma-se a série em \tfrac{1}{2}\big(f_{\text{odd}}(x+ct)+f_{\text{odd}}(x-ct)\big), onde f_{\text{odd}} é a extensão ímpar e 2L-periódica de f. Essa é a forma de D’Alembert adaptada às condições u(0,t)=u(L,t)=0.
(d) Para f(x)=-x^{2}+\pi x em 0\le x\le\pi (isto é, L=\pi):