Dado o problema da onda
P O_{A}\left\{\begin{array}{c} u_{t t}=c^{2} u_{x x}, \quad 0<x<L e t>0 \\\ u(0, t)=0=u(L, t), \quad t>0 \\\ u(x, 0)=f(x), \quad 0 \leq x \leq L \\\ u_{t}(x, 0)=0, \quad 0 \leq x \leq L \end{array}\right.
Em que c>0 é a velocidade de propagação da onda e L o seu comprimento, faça o que se pede a seguir
(a) Desenvolva o Método de Separação de Variáveis de Fourier (u(x, t)=F(x) G(t)), determinando a EDO e o problema de Sturm-Liouville associado ao problema bem como seus autovalores e as autofunções associadas;
(b) Determine a solução genérica do problema P O_{A} explicitando a igualdade que define a expansão da condição inicial f(x) em Série de Fourier.
(c) Usando a solução em Série de Fourier doo item (b), mostre como obter a Fórmula de D’Alembert para esse problema;
Observação: \operatorname{sen}(\mathrm{A}) \cos (\mathrm{B})=\frac{1}{2}[\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)]
(d) Determine explicitamente a solução em série e também a solução via Formula de D’Alembert, para f(x)=-x^{2}+\pi x, \quad 0 \leq x \leq \pi.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • O problema é o problema inicial e de contorno da onda P O_{A}:
P O_{A}\left\{\begin{array}{l} u_{t t}=c^{2} u_{x x},\quad 0<x<L,\\ t>0,\\[4pt] u(0,t)=0=u(L,t),\quad t>0,\\[4pt] u(x,0)=f(x),\quad 0\le x\le L,\\[4pt] u_{t}(x,0)=0,\quad 0\le x\le L, \end{array}\right.
com c>0 e L>0.
As perguntas:
(a) Aplicar Separação de Variáveis u(x,t)=F(x)\,G(t): obter as EDOs e o problema de Sturm–Liouville associado, achar autovalores e autofunções.
(b) Determinar a solução geral do problema P O_{A} e explicitar a igualdade que define a expansão de f(x) em série de Fourier (série seno).
(c) A partir da série do item (b), mostrar como obter a fórmula de D’Alembert para este problema (explicar a relação entre série e fórmula).
(d) Tomando f(x)=-x^{2}+\pi x em 0\le x\le\pi (portanto L=\pi), determinar explicitamente
  • a solução em série, e
  • a solução via fórmula de D’Alembert (explicitar a forma — e, quando aplicável, a forma simplificada válida enquanto x\pm ct ficar dentro de [0,\pi]).
Dados relevantes: condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(L,t)=0 e condição inicial de velocidade nula u_t(x,0)=0. Não há imagem.]

Passo 2

Separação de Variáveis — derivação do sistema de ODEs e do problema de Sturm–Liouville.
Suponha uma solução do tipo
u(x,t)=F(x)\,G(t),
com F dependendo só de x e G só de t. Substituindo na PDE:
u_{tt}=F(x)G''(t),\qquad u_{xx}=F''(x)G(t).
A PDE u_{tt}=c^{2}u_{xx} torna-se
F(x)G''(t)=c^{2}F''(x)G(t).
Dividindo por c^{2}F(x)G(t) (assumindo F e G não nulos identicamente) obtemos
\frac{G''(t)}{c^{2}G(t)}=\frac{F''(x)}{F(x)}=\text{constante}=-\lambda.
Aqui introduzimos o sinal negativo por convenção de Sturm–Liouville, ficando duas ODEs acopladas pelo parâmetro \lambda:
\text{(temporal)}\qquad G''(t)+c^{2}\lambda\,G(t)=0,
\text{(espacial)}\qquad F''(x)+\lambda\,F(x)=0,
com as condições de contorno impostas em x:
F(0)=0,\qquad F(L)=0.
Esse é o problema de Sturm–Liouville para F com condições de Dirichlet homogêneas. Agora analisamos os possíveis sinais de \lambda.
  1. \lambda<0. Escreva \lambda=-\mu^{2} com \mu>0. Então F''-\mu^{2}F=0 com soluções F=Ae^{\mu x}+Be^{-\mu x}. As condições F(0)=0 e F(L)=0 forçam A+B=0 e Ae^{\mu L}+Be^{-\mu L}=0; a única solução é trivial F\equiv0. Logo nenhum autovalor negativo.
  2. \lambda=0. Então F''=0\Rightarrow F(x)=Ax+B. Impor F(0)=0 B=0; impor F(L)=0 A L=0\Rightarrow A=0. Só solução trivial. Logo \lambda=0 não é autovalor.
  3. \lambda>0. Escreva \lambda=\kappa^{2}, \kappa>0. A equação é F''+\kappa^{2}F=0 com solução geral
F(x)=A\cos(\kappa x)+B\sin(\kappa x).
Impor F(0)=0 A=0. Então
F(x)=B\sin(\kappa x).
Impor F(L)=0 exige B\sin(\kappa L)=0. Para ter F\not\equiv0 precisamos \sin(\kappa L)=0, isto é
\kappa L = n\pi,\qquad n=1,2,3,\dots
Logo os autovalores são
\lambda_{n}=\kappa_{n}^{2}=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2},\qquad n=1,2,\dots
e as autofunções (antes da normalização) são
F_{n}(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right),\qquad n=1,2,\dots
Essas funções formam uma base ortogonal (com respeito ao produto interno \int_{0}^{L}\cdot\,\cdot\,dx) das funções que satisfazem as condicionais de contorno.

Passo 3

Equação temporal e forma geral das soluções separáveis.
Para cada \lambda_{n}=\left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^{2} a equação temporal é
G''(t)+c^{2}\lambda_{n}G(t)=0\quad\Longrightarrow\quad G''(t)+\left(\frac{c n\pi}{L}\right)^{2}G(t)=0.
A solução geral é
G_{n}(t)=A_{n}\cos\!\left(\frac{c n\pi}{L}t\right)+B_{n}\sin\!\left(\frac{c n\pi}{L}t\right).
Portanto cada modo separável dá uma solução
u_{n}(x,t)=\big(A_{n}\cos(\omega_{n} t)+B_{n}\sin(\omega_{n} t)\big)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right), \qquad\omega_{n}=\frac{c n\pi}{L}.
Pela linearidade, a solução geral (soma infinita) é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\big(A_{n}\cos(\omega_{n} t)+B_{n}\sin(\omega_{n} t)\big)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Agora usamos as condições iniciais. Em t=0,
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)=f(x).
E u_{t}(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\big(-A_{n}\omega_{n}\sin(\omega_{n}t)+B_{n}\omega_{n}\cos(\omega_{n}t)\big)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right). Em t=0,
u_{t}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\omega_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)=0.
Pela ortogonalidade das funções \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right) no intervalo [0,L], os coeficientes devem satisfazer B_{n}\omega_{n}=0 para todo n. Como \omega_{n}\neq0, concluímos
B_{n}=0\quad\text{para todo }n.
Assim a solução fica simplesmente
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos\!\left(\frac{c n\pi}{L}t\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Os coeficientes A_{n} são os coeficientes da série de Fourier seno de f em [0,L]. Pela fórmula da expansão em seno (usando ortogonalidade)
A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx,\qquad n=1,2,\dots
(Explicação curta: as senos são ortogonais: \int_{0}^{L}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\sin\!\left(\frac{m\pi}{L}x\right)dx=0 para n\ne m e igual a L/2 para n=m. Projectando f nas senos obtemos os A_n.)

Passo 4

Resposta do item (b): solução genérica e igualdade que define a expansão.
A solução do problema P O_{A} é
\boxed{\,u(x,t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos\!\left(\frac{c n\pi}{L}t\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,}
com
\boxed{\,A_{n}=\dfrac{2}{L}\displaystyle\int_{0}^{L}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx,\qquad n=1,2,\dots\,}
e, portanto, a igualdade que define a expansão de f é
\boxed{\,f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right),\qquad 0\le x\le L.\,}
Comentário prático: essa é a série de Fourier seno (expansão em autofunções do problema de Sturm–Liouville com BC de Dirichlet).

Passo 5

Do somatório à Fórmula de D’Alembert (item (c)) — conexão e explicação conceitual.
Começamos da solução em série:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos\!\left(\omega_{n}t\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right), \qquad \omega_{n}=\frac{c n\pi}{L}.
Use a identidade trigonométrica dada:
\sin(A)\cos(B)=\tfrac{1}{2}\big(\sin(A+B)+\sin(A-B)\big).
Tomando A=\dfrac{n\pi}{L}x e B=\omega_{n}t=\dfrac{c n\pi}{L}t, temos
\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\cos\!\left(\frac{c n\pi}{L}t\right) =\tfrac{1}{2}\Big(\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{L}(x+ct)\big)+\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{L}(x-ct)\big)\Big).
Substituindo na série,
u(x,t)=\tfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\Big(\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{L}(x+ct)\big)+\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{L}(x-ct)\big)\Big).
Agora veja o que são as séries \sum_{n}A_{n}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{L}y\big) como funções de y: elas são exatamente as séries de Fourier seno de f (isto é, a expansão de f em senos no intervalo [0,L]), mas vistas como funções periódicas e ímpares com período 2L. Em outras palavras, a série de senos representa a extensão ímpar e 2L-periódica de f no eixo real; chamemos essa extensão de f_{\text{odd}}(y). Então cada soma é a reconstrução dessa extensão avaliada em y=x\pm ct:
\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{L}y\big)=f_{\text{odd}}(y),
em que f_{\text{odd}} é a extensão ímpar de f a todo \mathbb{R} e 2L-periódica. Assim obtemos
u(x,t)=\tfrac{1}{2}\big(f_{\text{odd}}(x+ct)+f_{\text{odd}}(x-ct)\big).
Isso é a fórmula de D’Alembert adaptada ao problema com condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0: a solução é a média das duas ondas que viajam para a direita e para a esquerda, onde a função de forma usada é a extensão ímpar e 2L-periódica de f.
Resumo conceitual: a série de senos dá a decomposição em modos — usando a identidade trigonométrica transformamos cada modo num par de termos dependentes de x\pm ct; a soma desses termos é precisamente a média \tfrac{1}{2}(f_{\text{odd}}(x+ct)+f_{\text{odd}}(x-ct)). Para velocidade inicial nula, a forma d’Alembert é essa média. Portanto a série e a fórmula de D’Alembert dão a mesma solução, desde que se interprete f estendida de forma ímpar e 2L-periódica.

Passo 6

Cálculo explícito para [f(x)=-x^{2}+\pi x) em 0\le x\le\pi (item (d)). Aqui L=\pi.
Vamos obter os coeficientes A_{n} (chamei antes de A_n) para L=\pi:
A_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(-x^{2}+\pi x)\sin(nx)\,dx.
Denotemos
I_{n}=\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx,\qquad J_{n}=\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin(nx)\,dx.
Calcule I_{n}. Integração por partes ( u=x,\\ dv=\sin(nx)dx):
I_{n}=-\frac{x\cos(nx)}{n}\Big|_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx =-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}+\frac{\sin(n\pi)}{n^{2}}.
Como \cos(n\pi)=(-1)^{n} e \sin(n\pi)=0, resulta
I_{n}=-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.
Calcule J_{n}. Integração por partes duas vezes: com u=x^{2},\\ dv=\sin(nx)dx
J_{n}=-\frac{x^{2}\cos(nx)}{n}\Big|_{0}^{\pi}+\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx =-\frac{\pi^{2}\cos(n\pi)}{n}+\frac{2}{n}K_{n},
onde K_{n}=\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx. Calcule K_{n} por partes ( u=x,\\ dv=\cos(nx)dx):
K_{n}=\frac{x\sin(nx)}{n}\Big|_{0}^{\pi}-\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx =\frac{\pi\sin(n\pi)}{n}-\frac{1}{n}\Big(-\frac{\cos(nx)}{n}\Big)\Big|_{0}^{\pi}.
Usando \sin(n\pi)=0 e avaliando, obtém-se
K_{n}=\frac{\cos(n\pi)-\cos(0)}{n^{2}}=\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}}.
Substituindo em J_{n}:
J_{n}=-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}+\frac{2}{n}\cdot\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}} =-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}+\frac{2\big((-1)^{n}-1\big)}{n^{3}}.
Agora volte a A_{n}:
A_{n}=\frac{2}{\pi}\Big(-J_{n}+\pi I_{n}\Big).
Substitua J_{n} e I_{n}:
-J_{n}+\pi I_{n}=-\Big(-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}+\frac{2\big((-1)^{n}-1\big)}{n^{3}}\Big) +\pi\Big(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\Big).
Observe que os termos em \pi^{2}(-1)^{n}/n se cancelam:
-\Big(-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}\Big)-\pi\Big(\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\Big)=0.
Fica
-J_{n}+\pi I_{n}=-\frac{2\big((-1)^{n}-1\big)}{n^{3}}.
Logo
A_{n}=\frac{2}{\pi}\cdot\Big(-\frac{2\big((-1)^{n}-1\big)}{n^{3}}\Big) =\frac{4}{\pi n^{3}}\big(1-(-1)^{n}\big).
Simplificando:
A_{n}=\begin{cases} 0,& n\\ \text{par},\\[4pt] \dfrac{8}{\pi n^{3}},& n\\ \text{ímpar}. \end{cases}í
Ótimo — coeficientes nulos para modos pares, não nulos para ímpares.
Portanto a solução em série (com L=\pi\] e \(\omega_n = c n) é
\boxed{\,u(x,t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{\pi(2k+1)^{3}} \cos\!\big(c(2k+1)t\big)\,\sin\!\big((2k+1)x\big)\,}
(índice n=2k+1 para os termos ímpares).]

Passo 7

Solução via Fórmula de D’Alembert para este f (com L=\pi).
Como explicado no Passo 5, a fórmula de D’Alembert para o problema com condições u(0,t)=u(\pi,t)=0 e velocidade inicial nula é
u(x,t)=\tfrac{1}{2}\big(f_{\text{odd}}(x+ct)+f_{\text{odd}}(x-ct)\big),
onde f_{\text{odd}} é a extensão ímpar de f a \mathbb{R} com período 2\pi.
No caso particular f(x)=-x^{2}+\pi x em [0,\pi], a extensão ímpar para argumentos dentro de [-\pi,\pi] é dada por f_{\text{odd}}(y)= -y^{2}+\pi y se y\in[0,\pi], e f_{\text{odd}}(y)=-f(-y) se y\in[-\pi,0]; depois estende-se com período 2\pi. Assim a expressão d’Alembert é
\boxed{\,u(x,t)=\tfrac{1}{2}\big(f_{\text{odd}}(x+ct)+f_{\text{odd}}(x-ct)\big)\,}
onde f_{\text{odd}} é a extensão ímpar e 2\pi-periódica de f descrita acima.
Além disso, há uma forma simples e explícita válida enquanto ambos os argumentos x\pm ct permanecerem dentro do intervalo original [0,\pi]. Se
0\le x-ct\le x+ct\le\pi\quad\Longleftrightarrow\quad ct\le\min\{x,\pi-x\},
então f_{\text{odd}}(x\pm ct)=f(x\pm ct)=-(x\pm ct)^{2}+\pi(x\pm ct). Nessa situação obtemos
\begin{aligned} u(x,t)&=\tfrac{1}{2}\big(\,[-(x+ct)^{2}+\pi(x+ct)]+[-(x-ct)^{2}+\pi(x-ct)]\,\big)\\[4pt] &=\tfrac{1}{2}\big(-2x^{2}-2c^{2}t^{2}+2\pi x\big)\\[4pt] &=-x^{2}-c^{2}t^{2}+\pi x\\[4pt] &=f(x)-c^{2}t^{2}, \end{aligned}
válido enquanto ct\le\min\{x,\pi-x\}. Isso corresponde à interpretação física: antes das reflexões nas extremidades, a solução é a média direta das duas ondas sem interpolações.
Por fim, a série encontrada no Passo 6 e a expressão de D’Alembert com f_{\text{odd}} coincidem para todo x,t (a igualdade é a equivalência entre a expansão em Fourier seno e a representação por deslocamentos x\pm ct da extensão ímpar).]

Resposta

(a) Autovalores \displaystyle \lambda_{n}=\left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^{2}, n=1,2,\dots. Autofunções \displaystyle F_{n}(x)=\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right). Equações temporais G''+(\tfrac{c n\pi}{L})^{2}G=0.
(b) \displaystyle u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos\!\left(\frac{c n\pi}{L}t\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right), com \displaystyle A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\,dx. Igualdade de expansão: \displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
(c) Usando \sin(A)\cos(B)=\tfrac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)] transforma-se a série em \tfrac{1}{2}\big(f_{\text{odd}}(x+ct)+f_{\text{odd}}(x-ct)\big), onde f_{\text{odd}} é a extensão ímpar e 2L-periódica de f. Essa é a forma de D’Alembert adaptada às condições u(0,t)=u(L,t)=0.
(d) Para f(x)=-x^{2}+\pi x em 0\le x\le\pi (isto é, L=\pi):
  • Solução em série:
\displaystyle u(x,t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{\pi(2k+1)^{3}}\cos\!\big(c(2k+1)t\big)\,\sin\!\big((2k+1)x\big).
  • Solução via D’Alembert:
\displaystyle u(x,t)=\tfrac{1}{2}\big(f_{\text{odd}}(x+ct)+f_{\text{odd}}(x-ct)\big),
onde f_{\text{odd}} é a extensão ímpar e 2\pi-periódica de f. Em particular, enquanto ct\le\min\{x,\pi-x\} (ou seja, antes das primeiras reflexões),
\displaystyle u(x,t)=-x^{2}-c^{2}t^{2}+\pi x = f(x)-c^{2}t^{2}.

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