Determine se \vec{u} e \vec{v} são vetores ortogonais.
  • \vec{u}=(6,1,4), \vec{v}=(2,0,-3)
  • \vec{u}=(0,0,-1), \vec{v}=(1,1,1)
  • \vec{u}=(-6,0,4), \vec{v}=(3,1,6)
  • \vec{u}=(2,4,-8), \vec{v}=(5,3,7)
  • \vec{u}=(2,3), \vec{v}=(5,-7)
  • \vec{u}=(-6,-2), \vec{v}=(4,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada um dos seis pares de vetores dados, se eles são ortogonais. O conteúdo principal aqui é o produto escalar em \mathbb R^n e o critério de ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar for zero.

Passo 2

Dado \vec u=(u_1,\dots,u_n) e \vec v=(v_1,\dots,v_n), o produto escalar é
\vec u \cdot \vec v \;=\; u_1\,v_1 + u_2\,v_2 + \dots + u_n\,v_n.
Os vetores \vec u e \vec v são ortogonais exatamente quando
\vec u \cdot \vec v = 0.

Passo 3

Cálculo dos produtos escalares para cada par:
Para \vec u=(6,1,4) e \vec v=(2,0,-3) temos
\vec u\cdot\vec v = 6\cdot2 + 1\cdot0 + 4\cdot(-3) = 12 - 12 = 0.
Para \vec u=(0,0,-1) e \vec v=(1,1,1) temos
\vec u\cdot\vec v = 0\cdot1 + 0\cdot1 + (-1)\cdot1 = -1.
Para \vec u=(-6,0,4) e \vec v=(3,1,6) temos
\vec u\cdot\vec v = (-6)\cdot3 + 0\cdot1 + 4\cdot6 = -18 + 24 = 6.
Para \vec u=(2,4,-8) e \vec v=(5,3,7) temos
\vec u\cdot\vec v = 2\cdot5 + 4\cdot3 + (-8)\cdot7 = 10 + 12 - 56 = -34.
Para \vec u=(2,3) e \vec v=(5,-7) temos
\vec u\cdot\vec v = 2\cdot5 + 3\cdot(-7) = 10 - 21 = -11.
Para \vec u=(-6,-2) e \vec v=(4,0) temos
\vec u\cdot\vec v = (-6)\cdot4 + (-2)\cdot0 = -24 + 0 = -24.

Passo 4

Aplicando o critério de ortogonalidade \vec u\cdot\vec v=0, vemos que somente o primeiro produto escalar é zero. Nos demais, o produto escalar é diferente de zero, logo esses pares não são ortogonais.

Resposta

  1. Sim
  2. Não
  3. Não
  4. Não
  5. Não
  6. Não

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