\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-1}{1-x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 1}\frac{\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{x}}\bigr)-1}{1-x},
que é do tipo 0/0. Podemos resolver por simplificação algébrica, fatorando expressões, em vez de aplicar diretamente L’Hôpital.

Passo 2

Reescrevemos o numerador num único quociente:
\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}-1}{1-x} = \frac{\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{1-x} = \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\,(1-x)}.

Passo 3

Fatoramos 1-x em termos de \sqrt{x}. Como
1-x = (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}),
temos
\sqrt{x}\,(1-x) = \sqrt{x}\,(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}).

Passo 4

Substituindo na fração, fica
\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\,(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})},
e podemos cancelar o fator comum 1-\sqrt{x}, obtendo
\frac{1}{\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})}.

Passo 5

Agora avaliamos o limite diretamente:
\lim_{x\to1}\frac{1}{\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})} = \frac{1}{1\cdot(1+1)} = \frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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