Dado que
lim x 2 f(x)=4 lim x 2 g(x)=-2
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
lim x 2[f(x)+5 g(x)]

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções, $ f(x) $ e $ g(x) $, e sabemos os limites delas quando $ x $ se aproxima de 2. A tarefa é encontrar o limite da expressão $ f(x) + 5g(x) $ quando $ x $ tende a 2. Para resolver isso, vamos usar as regras básicas de limites em matemática.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que o limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites dessas funções, desde que ambos os limites existam. Ou seja:
limx c [f(x) + g(x)] = limx c f(x) + limx c g(x)

Passo 3

Além disso, se tivermos uma constante multiplicando uma função dentro do limite, podemos “puxar” essa constante para fora do limite. A fórmula fica assim:
limx c [k cdot f(x)] = k cdot limx c f(x)
onde $ k $ é uma constante.

Passo 4

Aplicando essas regras à expressão que precisamos resolver:
limx 2 [f(x) + 5g(x)]
Podemos separar a soma e multiplicar o 5 fora do limite:
= limx 2 f(x) + 5 cdot limx 2 g(x)

Passo 5

Agora, substituímos os valores dos limites que foram fornecidos no enunciado:
limx 2 f(x) = 4 e limx 2 g(x) = -2
Então, temos:
= 4 + 5 cdot (-2)
Calculando isso:
= 4 - 10
= -6

Resposta

O limite é igual a -6.

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