Três amigos - André
, Bernardo
e Carlos
-saíram para caminhar, seguindo trilhas diferentes. Cada um levou um GPS - instrumento que permite à pessoa determinar suas coordenadas. Em dado momento, os amigos entraram em contato uns com os outros, para informar em suas respectivas posições e combinaram que se encontrariam no ponto equidistante das posições informadas. As posições informadas foram:
e
. Com base nesses dados, conclui-se que os três amigos se encontrariam no ponto
de coordenadas:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui! Três amigos - André, Bernardo e Carlos - cada um está em um ponto diferente no mapa: A(1, √5), B(6, 0) e C(3, -3). Eles querem se encontrar em um ponto P que esteja na mesma distância dos três. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar “equidistante” dos três pontos. Isso quer dizer que a distância de P para A, de P para B e de P para C deve ser igual. Então, podemos escrever isso como:
Passo 3
A fórmula para calcular a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Vamos aplicar isso para as distâncias de P aos três amigos.
Passo 4
Primeiro, igualamos a distância de P a A com a distância de P a B:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
Passo 5
Vamos expandir os termos:
Simplificando os termos semelhantes:
Reorganizando os termos:
Dividindo tudo por 2 para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo comparando a distância de P a A com a distância de P a C:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Expandindo essa equação:
Simplificando:
Reorganizando os termos:
Dividindo por 2:
Passo 8
Agora temos um sistema com duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Simplificando:
Dividindo por 3:
Passo 9
Agora, substituímos $ y = 3 - x $ na Equação 1:
Distribuindo o $ \sqrt{5} $:
Agrupando os termos com $ x $:
Isolando $ x $:
Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Calculando:
Então, $ x = 3 $. Agora, substituindo na relação $ y = 3 - x $:
Resposta
Portanto, o ponto onde os três amigos vão se encontrar é $ P(3, , 0) $.