Três amigos - André (A), Bernardo (B) e Carlos (C)-saíram para caminhar, seguindo trilhas diferentes. Cada um levou um GPS - instrumento que permite à pessoa determinar suas coordenadas. Em dado momento, os amigos entraram em contato uns com os outros, para informar em suas respectivas posições e combinaram que se encontrariam no ponto equidistante das posições informadas. As posições informadas foram: A(1, raiz5), B(6,0) e C(3,-3). Com base nesses dados, conclui-se que os três amigos se encontrariam no ponto P(x, y) de coordenadas:
l x=square y=square

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui! Três amigos - André, Bernardo e Carlos - cada um está em um ponto diferente no mapa: A(1, √5), B(6, 0) e C(3, -3). Eles querem se encontrar em um ponto P que esteja na mesma distância dos três. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar “equidistante” dos três pontos. Isso quer dizer que a distância de P para A, de P para B e de P para C deve ser igual. Então, podemos escrever isso como:
dist(P, A) = dist(P, B) = dist(P, C)

Passo 3

A fórmula para calcular a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
(x1, y1)
Vamos aplicar isso para as distâncias de P aos três amigos.

Passo 4

Primeiro, igualamos a distância de P a A com a distância de P a B:
raiz(x - 1)^2 + (y - raiz5)^2 = raiz(x - 6)^2 + (y - 0)^2
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
(x - 1)^2 + (y - raiz5)^2 = (x - 6)^2 + y^2

Passo 5

Vamos expandir os termos:
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2yraiz5 + 5) = (x^2 - 12x + 36) + y^2
Simplificando os termos semelhantes:
-2x + 1 - 2yraiz5 + 5 = -12x + 36
Reorganizando os termos:
10x - 2yraiz5 = 30
Dividindo tudo por 2 para simplificar:
5x - yraiz5 = 15 (Equação 1) çã

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo comparando a distância de P a A com a distância de P a C:
raiz(x - 1)^2 + (y - raiz5)^2 = raiz(x - 3)^2 + (y + 3)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - 1)^2 + (y - raiz5)^2 = (x - 3)^2 + (y + 3)^2

Passo 7

Expandindo essa equação:
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2yraiz5 + 5) = (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9)
Simplificando:
-2x + 1 - 2yraiz5 + 5 = -6x + 9 + 6y + 9
Reorganizando os termos:
4x - 2yraiz5 - 6y = 12
Dividindo por 2:
2x - yraiz5 - 3y = 6 (Equação 2) çã

Passo 8

Agora temos um sistema com duas equações:
5x - yraiz5 = 15 (Equação 1) 2x - yraiz5 - 3y = 6 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
(5x - yraiz5) - (2x - yraiz5 - 3y) = 15 - 6
Simplificando:
3x + 3y = 9
Dividindo por 3:
x + y = 3 Rightarrow y = 3 - x

Passo 9

Agora, substituímos $ y = 3 - x $ na Equação 1:
y = 3 - x
Distribuindo o $ \sqrt{5} $:
5x - (3 - x)raiz5 = 15
Agrupando os termos com $ x $:
raiz5
Isolando $ x $:
5x - 3raiz5 + xraiz5 = 15
Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
x
Calculando:
x(5 + raiz5) = 15 + 3raiz5
Então, $ x = 3 $. Agora, substituindo na relação $ y = 3 - x $:
x

Resposta

l x = 3 y = 0
Portanto, o ponto onde os três amigos vão se encontrar é $ P(3, , 0) $.

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