Determine a imagem das funções vetoriais:
g(t)=(1+t, t^2);

Passo 1

A função vetorial g: ℝ → ℝ² é dada por g(t) = (1 + t, t²). Queremos encontrar a imagem de g, ou seja, o conjunto de pontos (x,y) no plano que são alcançados por g quando t varia em ℝ. Vamos usar a definição de imagem e eliminar o parâmetro.

Passo 2

Pela definição, Im(g) = { g(t) | t ∈ ℝ } = { (x,y) ∈ ℝ² | existe t ∈ ℝ tal que x = 1 + t e y = t² }.

Passo 3

Para eliminar o parâmetro, isolamos t em x = 1 + t, obtendo t = x − 1. Substituindo em y = t², temos y = (x − 1)².

Passo 4

Como t varia em ℝ, a expressão x = 1 + t varre todos os valores reais, logo x ∈ ℝ. Portanto, a imagem de g é a parábola definida pela equação y = (x − 1)² no plano xy.

Resposta

Im(g)=(x,y)inR^2mid y=(x-1)^2

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