Determine a imagem das funções vetoriais:
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Passo 1
A função vetorial g: ℝ → ℝ² é dada por g(t) = (1 + t, t²). Queremos encontrar a imagem de g, ou seja, o conjunto de pontos (x,y) no plano que são alcançados por g quando t varia em ℝ. Vamos usar a definição de imagem e eliminar o parâmetro.
Passo 2
Pela definição, Im(g) = { g(t) | t ∈ ℝ } = { (x,y) ∈ ℝ² | existe t ∈ ℝ tal que x = 1 + t e y = t² }.
Passo 3
Para eliminar o parâmetro, isolamos t em x = 1 + t, obtendo t = x − 1. Substituindo em y = t², temos y = (x − 1)².
Passo 4
Como t varia em ℝ, a expressão x = 1 + t varre todos os valores reais, logo x ∈ ℝ. Portanto, a imagem de g é a parábola definida pela equação y = (x − 1)² no plano xy.