Dado que
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=4, \quad \lim _{x \rightarrow 2} g(x)=-2, \quad \lim _{x \rightarrow 2} h(x)=0
encontre, se existir, o limite dado em cada item. Caso não exista, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 2}[f(x)+5 g(x)]

Passo 1

O enunciado fornece os limites (peguei estes valores do enunciado):
  • \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=4.
  • \displaystyle \lim_{x\to 2} g(x)=-2.
  • \displaystyle \lim_{x\to 2} h(x)=0.
O que se pede: encontrar, se existir, o valor de
\lim_{x\to 2}\bigl[f(x)+5\,g(x)\bigr].

Passo 2

Conceito e propriedade que vamos usar (a chamada linearidade dos limites).
Fórmula geral: para quaisquer constantes \alpha e \beta e funções u e v tais que \displaystyle \lim_{x\to a}u(x) e \displaystyle \lim_{x\to a}v(x) existem, vale
\lim_{x\to a}\bigl[\alpha\,u(x)+\beta\,v(x)\bigr] = \alpha\lim_{x\to a}u(x)+\beta\lim_{x\to a}v(x).
O que essa fórmula diz em palavras: se cada função tem um limite quando x se aproxima de um ponto, então qualquer combinação linear fixa dessas funções também tem limite, e o limite da combinação é a combinação dos limites. A razão é que perturbações pequenas nas funções (quando x está perto de a) se somam e multiplicam por constantes, e continuam sendo pequenas — é possível tornar a soma tão pequena quanto se queira controlando a proximidade de x a a.
Rascunho de justificativa (intuição controlada): suponha \lim_{x\to a}u(x)=L e \lim_{x\to a}v(x)=M. Dado \varepsilon>0, escolhemos distâncias \delta_u e \delta_v tais que para 0<|x-a|<\delta_u tenha |u(x)-L|<\dfrac{\varepsilon}{2(|\alpha|+|\beta|)} e para 0<|x-a|<\delta_v tenha |v(x)-M|<\dfrac{\varepsilon}{2(|\alpha|+|\beta|)}. Tomando \delta=\min(\delta_u,\delta_v) obtemos, para 0<|x-a|<\delta,
\bigl|\alpha(u(x)-L)+\beta(v(x)-M)\bigr| \leq |\alpha|\,|u(x)-L|+|\beta|\,|v(x)-M| <|\alpha|\frac{\varepsilon}{2(|\alpha|+|\beta|)}+|\beta|\frac{\varepsilon}{2(|\alpha|+|\beta|)}=\varepsilon.
Isso mostra que o limite da combinação é \alpha L+\beta M. (Não precisa decorar a prova para a prova, mas entender a ideia ajuda a confiar na propriedade.)

Passo 3

Aplicação ao problema: aqui \alpha=1, \beta=5, u=f e v=g, com a=2. Como os limites de f e g em 2 existem (foram dados), pela propriedade acima:
\lim_{x\to 2}\bigl[f(x)+5\,g(x)\bigr] = 1\cdot\lim_{x\to 2}f(x)+5\cdot\lim_{x\to 2}g(x).

Passo 4

Substituindo os valores dados:
1\cdot\lim_{x\to 2}f(x)+5\cdot\lim_{x\to 2}g(x) =1\cdot 4 + 5\cdot(-2).
Calcule passo a passo:
1\cdot 4 = 4, \qquad 5\cdot(-2) = -10,
então
4 + (-10) = -6.

Resposta

-6

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