Dado que
lim x 2 f(x)=4, lim x 2 g(x)=-2 e lim x 2 h(x)=0,
encontre, se existir, o limite dos itens que se seguem. Caso não exista, explique por quê.
lim x 2 g(x)h(x).

Passo 1

O enunciado nos dá os limites limxto2f(x)=4, limxto2g(x)=-2 e limxto2h(x)=0 e nos pede limxto2g(x)h(x). O conteúdo principal é o Teorema do Quociente de limites, que só vale quando o limite do denominador não é zero.

Passo 2

Pelo Teorema do Quociente, se limxto aA(x)=L e limxto aB(x)=Mneq0, então limxto aA(x)B(x)=LM. Aqui temos limxto2g(x)=-2 e limxto2h(x)=0, ou seja, o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um valor não nulo. Nessa situação a fração cresce em módulo sem limite finito e não satisfaz as hipóteses do teorema.

Passo 3

Como a forma resultante é -20, temos divergência do valor da expressão. Além disso, sem informação sobre o sinal de h(x) perto de 2, não podemos atribuir um infinito positivo ou negativo. Logo não existe limite finito nem infinito.

Passo 4

Portanto, o limite limxto2g(x)h(x) não existe.

Resposta

O limite não existe, pois o numerador tende a -2 e o denominador tende a zero, fazendo a fração divergir sem alcançar valor finito ou infinito bem definido.

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