Prove que, se
e
são racionais,
é primo positivo e
, então
e
.
Solução
Como c - a é racional, a última igualdade só subsiste quando (
)
, isto é, se
. Neste caso,
, provando a tese.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um número primo positivo
e racionais
, a igualdade
implica
e
. O conteúdo é a unicidade da escrita de um número na base
sobre
, e vamos precisar usar que
é irracional.
Passo 2
Subtraindo
de ambos os lados, obtemos:
Essa igualdade diz que a combinação
é nula. Mas
e
são racionais, e sabemos que
é irracional sempre que
é primo. Portanto, a única forma de uma soma de uma parte racional com uma parte irracional ser zero é ter ambas as partes iguais a zero.
Passo 3
Do fato de
e da independência de
e
sobre
, concluímos que
o que equivale a
e
, provando o que se pedia.
Resposta
a = c e b = d