Prove que, se a, b, c e d são racionais, p é primo positivo e a+b raizp=c+d raizp, então a=c e b=d.
Solução
a+b raizp=c+d raizp Leftrightarrow(b-d) raizp=c-a
Como c - a é racional, a última igualdade só subsiste quando ( b-d ) raizp in Q, isto é, se b-d=0. Neste caso, c-a=0, provando a tese.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um número primo positivo p e racionais a,b,c,d, a igualdade a + braizp = c + draizp implica a=c e b=d. O conteúdo é a unicidade da escrita de um número na base 1,raizp sobre Q, e vamos precisar usar que raizp é irracional.

Passo 2

Subtraindo c + draizp de ambos os lados, obtemos:
(a + braizp) - (c + draizp) = 0 Longrightarrow (a - c) + (b - d)raizp = 0
Essa igualdade diz que a combinação (a-c) + (b-d)raizp é nula. Mas a-c e b-d são racionais, e sabemos que raizp é irracional sempre que p é primo. Portanto, a única forma de uma soma de uma parte racional com uma parte irracional ser zero é ter ambas as partes iguais a zero.

Passo 3

Do fato de (a - c) + (b - d)raizp = 0 e da independência de 1 e raizp sobre Q, concluímos que
a - c = 0 e b - d = 0,
o que equivale a a = c e b = d, provando o que se pedia.

Resposta

a = c e b = d

Exercícios relacionados