. Utilizando apenas a relação de divisibilidade em Z, justifique as afirmações abaixo:
(a) Se n é um número par, então é verdade que 3 n é divisível por 6 .
(b) Se 15 n é um número divisível por 6 , então o número n tem que ser divisível por 6 .
© Se o número n não é divisível por 3 , então 2 n também não será divisível por 3 .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três afirmações relacionadas à divisibilidade de números inteiros. O conteúdo principal aqui é divisibilidade em Z (conjunto dos números inteiros). Para resolver, vamos lembrar que um número a é divisível por b se existe um inteiro k tal que a = b times k.

Passo 2

Parte (a): Se n é um número par, então 3n é divisível por 6.
Primeiro, sabemos que um número é par se ele é divisível por 2. Ou seja, se n é par, existe um inteiro k tal que:
n = 2k
Agora, multiplicamos ambos os lados por 3:
3n = 3 times 2k = 6k
Isso mostra que 3n é igual a 6 vezes algum inteiro k, ou seja, 3n é divisível por 6.

Passo 3

Parte (b): Se 15n é um número divisível por 6, então o número n tem que ser divisível por 6.
Sabemos que se 15n é divisível por 6, então existe um inteiro m tal que:
15n = 6m
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 3:
5n = 2m
Isso implica que 5n é igual a 2 vezes algum inteiro m. Como 2 e 5 são coprimos (não têm fatores comuns além de 1), para que isso seja verdadeiro, n deve ser divisível por 2. Além disso, como 15n é divisível por 6, e 6 = 2 × 3, n também deve ser divisível por 3 para que toda a expressão seja divisível por 6. Portanto, n deve ser divisível por 6.

Passo 4

Parte ©: Se o número n não é divisível por 3, então 2n também não será divisível por 3.
Vamos assumir que n não é divisível por 3. Isso significa que, quando dividimos n por 3, sobra 1 ou 2. Vamos multiplicar n por 2:
  • Se n = 3k + 1, então 2n = 2(3k + 1) = 6k + 2 = 3(2k) + 2. Al dividir por 3, sobra 2.
  • Se n = 3k + 2, então 2n = 2(3k + 2) = 6k + 4 = 3(2k + 1) + 1. Al dividir por 3, sobra 1.
Em ambos os casos, 2n não é divisível por 3.

Resposta

(a) Se n é par, então 3n é divisível por 6.
(b) Se 15n é divisível por 6, então n é divisível por 6.
© Se n não é divisível por 3, então 2n também não é divisível por 3.

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