. Utilizando apenas a relação de divisibilidade em
, justifique as afirmações abaixo:
(a) Se
é um número par, então é verdade que
é divisível por 6 .
(b) Se
é um número divisível por 6 , então o número
tem que ser divisível por 6 .
© Se o número
não é divisível por 3 , então
também não será divisível por 3 .
(a) Se
(b) Se
© Se o número
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três afirmações relacionadas à divisibilidade de números inteiros. O conteúdo principal aqui é divisibilidade em
(conjunto dos números inteiros). Para resolver, vamos lembrar que um número
é divisível por
se existe um inteiro
tal que
.
Passo 2
Parte (a): Se
é um número par, então
é divisível por 6.
Primeiro, sabemos que um número é par se ele é divisível por 2. Ou seja, se
é par, existe um inteiro
tal que:
Agora, multiplicamos ambos os lados por 3:
Isso mostra que
é igual a 6 vezes algum inteiro
, ou seja,
é divisível por 6.
Passo 3
Parte (b): Se
é um número divisível por 6, então o número
tem que ser divisível por 6.
Sabemos que se
é divisível por 6, então existe um inteiro
tal que:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 3:
Isso implica que
é igual a 2 vezes algum inteiro
. Como 2 e 5 são coprimos (não têm fatores comuns além de 1), para que isso seja verdadeiro,
deve ser divisível por 2. Além disso, como
é divisível por 6, e 6 = 2 × 3,
também deve ser divisível por 3 para que toda a expressão seja divisível por 6. Portanto,
deve ser divisível por 6.
Passo 4
Parte ©: Se o número
não é divisível por 3, então
também não será divisível por 3.
Vamos assumir que
não é divisível por 3. Isso significa que, quando dividimos
por 3, sobra 1 ou 2. Vamos multiplicar
por 2:
- Se
, então . Al dividir por 3, sobra 2. - Se
, então . Al dividir por 3, sobra 1.
Em ambos os casos,
não é divisível por 3.
Resposta
(a) Se
é par, então
é divisível por 6.
(b) Se
é divisível por 6, então
é divisível por 6.
© Se
não é divisível por 3, então
também não é divisível por 3.