Calcule o limite
l=\lim _{x \rightarrow \pi / 4} \tan (2 x) \tan (\pi / 4-x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
l = \lim_{x\to \pi/4} \tan(2x)\,\tan\bigl(\tfrac\pi4 - x\bigr).
O conteúdo envolve limites de funções com indeterminação do tipo \infty\cdot0, e vamos usar identidade trigonométrica e troca de variável para resolver.

Passo 2

Se fizermos a substituição direta x\to\pi/4, obtemos \tan(2x)\to\tan(\pi/2)=\infty
e \tan(\pi/4 - x)\to\tan(0)=0,
ou seja, temos indeterminação \infty\cdot0.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, fazemos a troca de variável
h = x - \tfrac\pi4,
de modo que x = \pi/4 + h e h\to0. Então
2x = \pi/2 + 2h\quad\Longrightarrow\quad \tan(2x)=\tan\bigl(\pi/2+2h\bigr)=-\cot(2h),
\pi/4 - x = -\,h\quad\Longrightarrow\quad \tan\bigl(\tfrac\pi4 - x\bigr)=\tan(-h)=-\tan(h).

Passo 4

O produto fica
\tan(2x)\,\tan\bigl(\tfrac\pi4 - x\bigr) = (-\cot(2h))\;(-\tan(h)) = \cot(2h)\,\tan(h) = \frac{\cos(2h)}{\sin(2h)}\;\frac{\sin(h)}{\cos(h)}.
Como \sin(2h)=2\sin(h)\cos(h), isso simplifica para
\frac{\cos(2h)\,\sin(h)}{2\sin(h)\cos(h)\,\cos(h)} = \frac{\cos(2h)}{2\cos^2(h)}.

Passo 5

Basta agora avaliar o limite h\to0: \cos(2h)\to1 e \cos^2(h)\to1,
portanto
l = \frac{1}{2\cdot1} = \frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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