Dado que
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=2, \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=-4, \quad \lim _{x \rightarrow a} h(x)=0
encontre os limites.
\lim _{x \rightarrow a} \frac{2}{g(x)}

Passo 1

O enunciado fornece os limites (quando x tende para a) das três funções:
\lim_{x\to a} f(x)=2,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=-4,\qquad \lim_{x\to a} h(x)=0.
A pergunta que temos que responder é:
\lim_{x\to a} \frac{2}{g(x)}.

Passo 2

Lembra das regras básicas de limites que vamos usar (explicando bem devagar):
  • Regra da constante: se c é constante e \lim_{x\to a} u(x)=L, então
\lim_{x\to a} c\cdot u(x)=c\cdot L.
Isso significa que podemos “fatorar” constantes para fora do limite.
  • Regra do recíproco (ou quociente): se \lim_{x\to a} u(x)=L e L\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{1}{u(x)}=\frac{1}{L}.
Em palavras: se uma função tem limite diferente de zero, o limite do seu inverso é o inverso do limite.
Essas regras vêm da definição epsilon-delta de limite, mas na prática elas dizem que podemos manipular limites como fazemos com números, desde que não dividamos por zero.

Passo 3

Verificar a condição necessária para usar a regra do recíproco: o limite de g é
\lim_{x\to a} g(x) = -4,
e -4\neq 0. Portanto é seguro aplicar a regra do recíproco à função g(x).

Passo 4

Agora aplicamos as regras passo a passo. Primeiro escrevemos
\frac{2}{g(x)} = 2\cdot\frac{1}{g(x)}.
Pelo limite de produto por constante e pela regra do recíproco, temos
\lim_{x\to a} \frac{2}{g(x)} = 2\cdot \lim_{x\to a} \frac{1}{g(x)} = 2\cdot \frac{1}{\lim_{x\to a} g(x)}.
Substituindo \lim_{x\to a} g(x)=-4,
\lim_{x\to a} \frac{2}{g(x)} = 2\cdot \frac{1}{-4} = -\frac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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