Dado que
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=2, \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=-4, \quad \lim _{x \rightarrow a} h(x)=0
encontre os limites.
\lim _{x \rightarrow a} \sqrt[3]{6+f(x)}

Passo 1

O enunciado dá claramente os seguintes limites quando x \to a:
\lim_{x\to a} f(x)=2,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=-4,\qquad \lim_{x\to a} h(x)=0.
A pergunta que devemos responder é:
\text{Calcular }\lim_{x\to a}\sqrt[3]{6+f(x)}.
Aqui ficam listadas as informações relevantes que vamos usar: a informação útil do enunciado é \lim_{x\to a} f(x)=2. Não há outras informações necessárias sobre g ou h para essa pergunta específica.

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar (de forma bem didática): quando temos um limite \lim_{x\to a} u(x)=L e uma função \varphi que é contínua em L, vale a propriedade
\lim_{x\to a} \varphi(u(x)) = \varphi\bigl(\lim_{x\to a} u(x)\bigr)=\varphi(L).
O que significa que podemos “fazer a função pra dentro do limite” quando a função externa é contínua no ponto limite do argumento. Aqui:
  • u(x) será 6+f(x);
  • \varphi(t) será \sqrt[3]{t}, a função raiz cúbica.
Agora, o que é continuidade de \varphi em L? Intuitivamente, \varphi é contínua em L se pequenos variações em sua entrada perto de L produzem pequenas variações na saída, e formalmente se \lim_{t\to L}\varphi(t)=\varphi(L). A raiz cúbica \varphi(t)=\sqrt[3]{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R} — ela não tem interrupções nem problemas em nenhum número real (é a função inversa do polinômio t\mapsto t^3, que é contínuo e estritamente crescente, logo sua inversa também é contínua). Portanto podemos aplicar a propriedade acima com segurança quando o limite do argumento for conhecido.

Passo 3

Primeiro calculemos o limite do argumento da raiz cúbica, ou seja de 6+f(x). Usamos a regra básica de limites: a soma com constante sai do limite, isto é, se \lim_{x\to a} f(x)=2 então
\lim_{x\to a}\bigl(6+f(x)\bigr)=6+\lim_{x\to a} f(x)=6+2=8.
Explicando por etapas: a operação "somar a constante 6" é contínua, então pode ser trocada com o limite; por isso o limite de 6+f(x) é 6 mais o limite de f(x).

Passo 4

Agora aplicamos a continuidade da raiz cúbica em 8. Como \varphi(t)=\sqrt[3]{t} é contínua em todo ponto, em particular em t=8, temos
\lim_{x\to a}\sqrt[3]{6+f(x)}=\sqrt[3]{\lim_{x\to a}\bigl(6+f(x)\bigr)}=\sqrt[3]{8}.
Finalmente, avaliamos \sqrt[3]{8}. Como 2^3=8, resulta
\sqrt[3]{8}=2.

Resposta

\,2\,

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