Dado que
encontre os limites.
Passo 1
O enunciado dá claramente os seguintes limites quando
:
A pergunta que devemos responder é:
Aqui ficam listadas as informações relevantes que vamos usar: a informação útil do enunciado é
. Não há outras informações necessárias sobre
ou
para essa pergunta específica.
Passo 2
Explicação do conceito que vamos usar (de forma bem didática): quando temos um limite
e uma função
que é contínua em
, vale a propriedade
O que significa que podemos “fazer a função pra dentro do limite” quando a função externa é contínua no ponto limite do argumento. Aqui:
-
será ; -
será , a função raiz cúbica.
Agora, o que é continuidade de
em
? Intuitivamente,
é contínua em
se pequenos variações em sua entrada perto de
produzem pequenas variações na saída, e formalmente se
. A raiz cúbica
é contínua para todo
— ela não tem interrupções nem problemas em nenhum número real (é a função inversa do polinômio
, que é contínuo e estritamente crescente, logo sua inversa também é contínua). Portanto podemos aplicar a propriedade acima com segurança quando o limite do argumento for conhecido.
Passo 3
Primeiro calculemos o limite do argumento da raiz cúbica, ou seja de
. Usamos a regra básica de limites: a soma com constante sai do limite, isto é, se
então
Explicando por etapas: a operação "somar a constante
" é contínua, então pode ser trocada com o limite; por isso o limite de
é
mais o limite de
.
Passo 4
Agora aplicamos a continuidade da raiz cúbica em
. Como
é contínua em todo ponto, em particular em
, temos
Finalmente, avaliamos
. Como
, resulta