(UECE) Uma plantação de alface ocupa uma área de forma retangular. Essa área é tal que a distância entre seus cantos opostos é 150 m , e a medida do menor ângulo entre suas diagonais é 60 graus.
Então, a medida, em \mathrm{m}^{2}, da área considerada é
a) 5625 \sqrt{2}
b) 5620 \sqrt{3}
c) 5615 \sqrt{2}
d) 5625 \sqrt{3}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • A área é um retângulo cujos lados (comprimentos) chamarei de a e b.
    • A distância entre cantos opostos (ou seja, a diagonal do retângulo) é 150\\ \mathrm{m}. Vou chamar essa diagonal de d, então d=150.
    • O menor ângulo formado entre as duas diagonais vale 60^\circ.
  • O que o enunciado pede:
    • A medida da área do retângulo, em \mathrm{m}^2.

Passo 2

Definir relações básicas entre a, b e d.
  • A diagonal de um retângulo é a hipotenusa do triângulo formado pelos lados a e b. Logo vale o teorema de Pitágoras:
d^{2}=a^{2}+b^{2}.
  • Temos d=150, então
150^{2}=a^{2}+b^{2}.

Passo 3

Encontrar uma expressão que relacione o ângulo entre as diagonais com a e b.
  • Vamos representar as duas diagonais como vetores que partem do mesmo ponto (por exemplo, usando o centro do retângulo). Um vetor diagonal pode ser tomado como (a,b) e a outra diagonal como (a,-b) (esta escolha mantém os comprimentos iguais e o cruzamento no centro).
  • O produto escalar (dot product) entre dois vetores u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) é
u\cdot v = u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}.
  • A relação entre produto escalar e o ângulo \theta entre os vetores é
u\cdot v = \|u\|\,\|v\|\cos\theta,
onde \|u\| é a norma (módulo) de u, dada por \|u\|=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}.

Passo 4

Aplicar o produto escalar às diagonais (a,b) e (a,-b) para obter \cos\theta.
  • Calcular o produto escalar:
(a,b)\cdot(a,-b)=a\cdot a + b\cdot(-b)=a^{2}-b^{2}.
  • As normas dos vetores são iguais:
\|(a,b)\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad \|(a,-b)\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
  • Então, usando a fórmula do produto escalar,
\cos\theta=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
  • Como o enunciado diz que o menor ângulo entre as diagonais é 60^\circ, temos \theta=60^\circ e, portanto,
\cos 60^\circ=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
  • Como \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}, obtemos a equação
\frac{1}{2}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.

Passo 5

Resolver a equação para a relação entre a^2 e b^2.
  • Seja x=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}. Substituindo na equação:
\frac{1}{2}=\frac{x-1}{x+1}.
  • Resolver:
2(x-1)=x+1 \quad\Rightarrow\quad 2x-2=x+1 \quad\Rightarrow\quad x=3.
  • Portanto
\frac{a^{2}}{b^{2}}=3 \quad\Rightarrow\quad a^{2}=3b^{2}.

Passo 6

Usar d^{2}=a^{2}+b^{2} para encontrar a e b em função de d.
  • Substituindo a^{2}=3b^{2} em d^{2}=a^{2}+b^{2}:
d^{2}=3b^{2}+b^{2}=4b^{2}.
  • Logo
b^{2}=\frac{d^{2}}{4}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{d}{2}.
  • Com d=150:
b=\frac{150}{2}=75\\ \mathrm{m}.
  • E
a=\sqrt{3}\,b=\sqrt{3}\cdot75=75\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular a área do retângulo.
  • A área A vale
A=a\cdot b.
  • Substituindo a=75\sqrt{3} e b=75:
A=(75\sqrt{3})\cdot(75)=75^{2}\sqrt{3}=5625\sqrt{3}\\ \mathrm{m}^{2}.

Resposta

d) 5625 \sqrt{3}

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