(UECE) Uma plantação de alface ocupa uma área de forma retangular. Essa área é tal que a distância entre seus cantos opostos é 150 m , e a medida do menor ângulo entre suas diagonais é 60 graus.
Então, a medida, em
, da área considerada é
a)
b)
c)
d)
Então, a medida, em
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- A área é um retângulo cujos lados (comprimentos) chamarei de
e . - A distância entre cantos opostos (ou seja, a diagonal do retângulo) é
. Vou chamar essa diagonal de , então . - O menor ângulo formado entre as duas diagonais vale
.
- A área é um retângulo cujos lados (comprimentos) chamarei de
-
O que o enunciado pede:
- A medida da área do retângulo, em
.
- A medida da área do retângulo, em
Passo 2
Definir relações básicas entre
,
e
.
- A diagonal de um retângulo é a hipotenusa do triângulo formado pelos lados
e . Logo vale o teorema de Pitágoras:
- Temos
, então
Passo 3
Encontrar uma expressão que relacione o ângulo entre as diagonais com
e
.
- Vamos representar as duas diagonais como vetores que partem do mesmo ponto (por exemplo, usando o centro do retângulo). Um vetor diagonal pode ser tomado como
e a outra diagonal como (esta escolha mantém os comprimentos iguais e o cruzamento no centro). - O produto escalar (dot product) entre dois vetores
e é
- A relação entre produto escalar e o ângulo
entre os vetores é
onde
é a norma (módulo) de
, dada por
.
Passo 4
Aplicar o produto escalar às diagonais
e
para obter
.
- Calcular o produto escalar:
- As normas dos vetores são iguais:
- Então, usando a fórmula do produto escalar,
- Como o enunciado diz que o menor ângulo entre as diagonais é
, temos e, portanto,
- Como
, obtemos a equação
Passo 5
Resolver a equação para a relação entre
e
.
- Seja
. Substituindo na equação:
- Resolver:
- Portanto
Passo 6
Usar
para encontrar
e
em função de
.
- Substituindo
em :
- Logo
- Com
:
- E
Passo 7
Calcular a área do retângulo.
- A área
vale
- Substituindo
e :
Resposta
d)