Dado que
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=2, \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=-4, \quad \lim _{x \rightarrow a} h(x)=0
encontre os limites.
\lim _{x \rightarrow a}[f(x)+2 g(x)]

Passo 1

O enunciado dá três limites (peguei estas informações do próprio enunciado):
\lim_{x\to a} f(x)=2,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=-4,\qquad \lim_{x\to a} h(x)=0.
A pergunta é calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to a}\bigl[f(x)+2\,g(x)\bigr].

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental de limites (aqui uso apenas lógica elementar, sem formalismo pesado): se \lim_{x\to a} f(x)=L_f e \lim_{x\to a} g(x)=L_g existem e são números finitos, então vale
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L_f+L_g
e, para qualquer constante c,
\lim_{x\to a}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot L_g.
Intuição rápida: quando x fica perto de a, f(x) fica perto de L_f e g(x) fica perto de L_g; somando ou multiplicando por constante, os valores também ficam perto da soma ou do produto pela constante.
Se quiser ver um esboço de demonstração elementar usando desigualdades: seja L_f=\lim_{x\to a}f(x) e L_g=\lim_{x\to a}g(x). Pelo triângulo e pela linearidade de constantes,
\bigl|f(x)+2g(x)-(L_f+2L_g)\bigr|\le |f(x)-L_f|+2|g(x)-L_g|.
Como ambos os termos à direita vão para 0 quando x\to a, o lado esquerdo também vai para 0, o que prova a propriedade.

Passo 3

Aplicando essas propriedades ao nosso caso, com L_f=2 e L_g=-4, temos
\lim_{x\to a}\bigl[f(x)+2\,g(x)\bigr] = \lim_{x\to a} f(x) \;+\; 2\cdot\lim_{x\to a} g(x) = 2 \;+\; 2\cdot(-4) = 2+(-8).

Passo 4

Interpretação rápida e incentivo: a conta é direta porque os limites de f e g são números finitos — nesse tipo de exercício a regra é sempre “se existem limites finitos, posso somar e tirar fator comum”. Se tivesse limites infinitos ou não existentes, aí teria que pensar diferente. Mas aqui está tudo certinho.

Resposta

-6

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