e pede para encontrar, se existir, o valor do limite
\lim_{x\to 2} \sqrt{f(x)}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O valor-limite de f(x) quando x\to2 é 4.
A pergunta é sobre a composição \sqrt{f(x)}: existe o limite quando x\to2 e, em caso afirmativo, qual é o valor?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma simples): se uma função \varphi é contínua em um ponto L e \lim_{x\to a} f(x)=L, então vale
\lim_{x\to a} \varphi\big(f(x)\big)=\varphi(L).
Aqui \varphi será a função \varphi(t)=\sqrt{t}. Vou explicar por que essa propriedade vale e por que podemos aplicá‑la no nosso caso.
Passo 3
Por que \sqrt{t} é contínua em t=4? A função \sqrt{t} é contínua em todo o intervalo (0,\infty). Como 4>0, existe uma vizinhança de 4 onde \sqrt{t} está bem definida e é contínua. Portanto, \varphi(t)=\sqrt{t} é contínua no ponto L=4.
Agora, como \lim_{x\to2} f(x)=4, para x suficientemente próximo de 2 temos f(x) próximo de 4; em particular, existe um intervalo ao redor de x=2 em que f(x) fica em (0,\infty). Isso garante que \sqrt{f(x)} é bem definida para x próximos de 2. Assim, as hipóteses da regra de composição (limite + continuidade) estão satisfeitas.
Passo 4
Prova técnica (epsilon–delta) curta para deixar tudo seguro e didático.
Queremos mostrar que
\lim_{x\to 2} \sqrt{f(x)} = \sqrt{4}=2.
Seja \varepsilon>0. Observe a identidade algébrica útil:
Isso mostra rigorosamente que \lim_{x\to2}\sqrt{f(x)}=2.
Passo 5
Interpretação final e conclusão amigável: como f(x) tende a 4 e \sqrt{\cdot} é contínua em 4 (e bem definida em uma vizinhança positiva de 4), a composição tende ao valor da raiz de 4. Portanto o limite existe e vale 2. Boa — tiramos essa com cuidado para não deixar dúvidas!