Dado que
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=4, \quad \lim _{x \rightarrow 2} g(x)=-2, \quad \lim _{x \rightarrow 2} h(x)=0
encontre, se existir, o limite dado em cada item. Caso não exista, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{f(x)}

Passo 1

O enunciado nos dá os limites
\lim_{x\to 2} f(x)=4,\qquad \lim_{x\to 2} g(x)=-2,\qquad \lim_{x\to 2} h(x)=0,
e pede para encontrar, se existir, o valor do limite
\lim_{x\to 2} \sqrt{f(x)}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O valor-limite de f(x) quando x\to2 é 4.
  • A pergunta é sobre a composição \sqrt{f(x)}: existe o limite quando x\to2 e, em caso afirmativo, qual é o valor?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma simples): se uma função \varphi é contínua em um ponto L e \lim_{x\to a} f(x)=L, então vale
\lim_{x\to a} \varphi\big(f(x)\big)=\varphi(L).
Aqui \varphi será a função \varphi(t)=\sqrt{t}. Vou explicar por que essa propriedade vale e por que podemos aplicá‑la no nosso caso.

Passo 3

Por que \sqrt{t} é contínua em t=4? A função \sqrt{t} é contínua em todo o intervalo (0,\infty). Como 4>0, existe uma vizinhança de 4 onde \sqrt{t} está bem definida e é contínua. Portanto, \varphi(t)=\sqrt{t} é contínua no ponto L=4.
Agora, como \lim_{x\to2} f(x)=4, para x suficientemente próximo de 2 temos f(x) próximo de 4; em particular, existe um intervalo ao redor de x=2 em que f(x) fica em (0,\infty). Isso garante que \sqrt{f(x)} é bem definida para x próximos de 2. Assim, as hipóteses da regra de composição (limite + continuidade) estão satisfeitas.

Passo 4

Prova técnica (epsilon–delta) curta para deixar tudo seguro e didático.
Queremos mostrar que
\lim_{x\to 2} \sqrt{f(x)} = \sqrt{4}=2.
Seja \varepsilon>0. Observe a identidade algébrica útil:
\big|\sqrt{f(x)}-2\big|=\frac{\big|f(x)-4\big|}{\sqrt{f(x)}+2}.
Escolhemos primeiro um pequeno número positivo, por exemplo 1. Como \lim_{x\to2} f(x)=4, existe \delta_1>0 tal que, se 0<|x-2|<\delta_1, então
|f(x)-4|<1.
Isso implica que, para esses x, temos f(x)>3 e portanto \sqrt{f(x)}\ge\sqrt{3}. Assim, para 0<|x-2|<\delta_1,
\sqrt{f(x)}+2 \ge \sqrt{3}+2.
Logo, para esses x,
\big|\sqrt{f(x)}-2\big| = \frac{|f(x)-4|}{\sqrt{f(x)}+2} \le \frac{|f(x)-4|}{\sqrt{3}+2}.
Agora, escolha \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, valha simultaneamente
|f(x)-4|<\min\bigl(1,(\sqrt{3}+2)\varepsilon\bigr).
Isso é possível porque \lim_{x\to2} f(x)=4. Para tais x temos então
\big|\sqrt{f(x)}-2\big|\le \frac{|f(x)-4|}{\sqrt{3}+2}<\varepsilon.
Isso mostra rigorosamente que \lim_{x\to2}\sqrt{f(x)}=2.

Passo 5

Interpretação final e conclusão amigável: como f(x) tende a 4 e \sqrt{\cdot} é contínua em 4 (e bem definida em uma vizinhança positiva de 4), a composição tende ao valor da raiz de 4. Portanto o limite existe e vale 2. Boa — tiramos essa com cuidado para não deixar dúvidas!

Resposta

\;2

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