Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; z=\left(3\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)^{1 / 2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=\bigl(3(x^2+y^2)\bigr)^{1/2},\; x^2+y^2+z^2\le 1\}.
O que se pede:
  • Esboçar (descrever geometricamente) a superfície definida por essa relação.
  • Parametrizar essa superfície e indicar claramente o domínio dos parâmetros.
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • Há uma relação explícita entre z e x,y: z=\sqrt{3(x^2+y^2)}. Observe que isso impõe z\ge 0.
  • Além disso, os pontos devem satisfazer x^2+y^2+z^2\le 1, ou seja, ficar dentro (ou sobre) a esfera unitária centrada na origem.

Passo 2

Identificar a forma geométrica básica: vamos manipular a relação para ver que superfície é.
Elevar ao quadrado a igualdade z=\sqrt{3(x^2+y^2)}
z^2=3(x^2+y^2).
Rearranjando,
x^2+y^2=\frac{1}{3}z^2.
Isso é a equação de um cone circular reto com vértice na origem e eixo ao longo do eixo z. Mais claramente: os pontos satisfazem z=\sqrt{3}\,r, onde r=\sqrt{x^2+y^2} é a distância ao eixo z. Portanto a superfície sem a restrição da esfera seria um cone com semiângulo tal que \tan(\alpha)=1/\sqrt{3} (logo \alpha=30^\circ), e somente a metade superior ( z\ge0), porque aparece a raiz positiva.

Passo 3

Motivação para escolher coordenadas cilíndricas: quando a equação envolve x^2+y^2 é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) definidas por
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge0 e \theta\in[0,2\pi). Assim x^2+y^2=r^2. Substituindo na equação do cone obtemos
z=\sqrt{3\,r^2}=\sqrt{3}\,r,
o que mostra que, ao longo do cone, z é proporcional a r. Portanto uma parametrização natural usa como parâmetros r e \theta.

Passo 4

Construir a parametrização: usando r e \theta como parâmetros, a parametrização \mathbf{r}(r,\theta) da parte do cone é
\mathbf{r}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; \sqrt{3}\,r\bigr).
Aqui r mede a distância radial na projeção no plano xy e \theta é o ângulo polar. Expliquei cada variável:
  • r é a variável radial (distância ao eixo z),
  • \theta é o ângulo no plano xy,
  • o terceiro componente vem da equação do cone.

Passo 5

Determinar o domínio de r e \theta imposto pela esfera x^2+y^2+z^2\le 1. Calculemos a soma dos quadrados usando r e a relação do cone:
x^2+y^2+z^2 = r^2 + (\sqrt{3}\,r)^2 = r^2 + 3r^2 = 4r^2.
A condição x^2+y^2+z^2\le 1 fica
4r^2 \le 1 \quad\Longrightarrow\quad r^2 \le \frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad 0\le r \le \frac{1}{2}.
Para \theta mantemos o intervalo completo de variação angular
0 \le \theta < 2\pi.
Portanto o domínio dos parâmetros é o retângulo
D=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le\tfrac{1}{2},\; 0\le\theta<2\pi\}.

Passo 6

Caracterização geométrica final e curva de interseção: a superfície S é o pedaço superior do cone z=\sqrt{3}\,r cortado pela esfera unitária. A curva de interseção entre cone e esfera ocorre em r=\tfrac{1}{2}, com coordenadas
\bigl(x,y,z\bigr)=\Bigl(\tfrac{1}{2}\cos\theta,\; \tfrac{1}{2}\sin\theta,\; \tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr),
que é um círculo de raio \tfrac{1}{2} no plano paralelo ao xy a altura z=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Para esboçar: desenhar o cone com semiângulo 30^\circ para z\ge0 e marcar a interseção com a esfera unitária (círculo na altura indicada).

Passo 7

Resumo prático (como usar na prova): ao ver z dado por \sqrt{\text{algo com }x^2+y^2} pense imediatamente em coordenadas cilíndricas. Parametrize x e y por r\cos\theta e r\sin\theta, expresse z em r, e imponha quaisquer restrições (aqui a esfera) para obter o intervalo de r. Sempre explicite os intervalos de r e \theta.

Resposta

\mathbf{r}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; \sqrt{3}\,r\bigr),\quad 0\le r\le \tfrac{1}{2},\; 0\le\theta<2\pi

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