Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
O que se pede:
- Esboçar (descrever geometricamente) a superfície definida por essa relação.
- Parametrizar essa superfície e indicar claramente o domínio dos parâmetros.
Informações relevantes que já estão no enunciado:
- Há uma relação explícita entre
e : . Observe que isso impõe . - Além disso, os pontos devem satisfazer
, ou seja, ficar dentro (ou sobre) a esfera unitária centrada na origem.
Passo 2
Identificar a forma geométrica básica: vamos manipular a relação para ver que superfície é.
Elevar ao quadrado a igualdade dá
Elevar ao quadrado a igualdade
Rearranjando,
Isso é a equação de um cone circular reto com vértice na origem e eixo ao longo do eixo
. Mais claramente: os pontos satisfazem
, onde
é a distância ao eixo
. Portanto a superfície sem a restrição da esfera seria um cone com semiângulo tal que
(logo
), e somente a metade superior (
), porque aparece a raiz positiva.
Passo 3
Motivação para escolher coordenadas cilíndricas: quando a equação envolve
é natural usar coordenadas cilíndricas
definidas por
onde
e
. Assim
. Substituindo na equação do cone obtemos
o que mostra que, ao longo do cone,
é proporcional a
. Portanto uma parametrização natural usa como parâmetros
e
.
Passo 4
Construir a parametrização: usando
e
como parâmetros, a parametrização
da parte do cone é
Aqui
mede a distância radial na projeção no plano
e
é o ângulo polar. Expliquei cada variável:
-
é a variável radial (distância ao eixo ), -
é o ângulo no plano , - o terceiro componente vem da equação do cone.
Passo 5
Determinar o domínio de
e
imposto pela esfera
. Calculemos a soma dos quadrados usando
e a relação do cone:
A condição
fica
Para
mantemos o intervalo completo de variação angular
Portanto o domínio dos parâmetros é o retângulo
Passo 6
Caracterização geométrica final e curva de interseção: a superfície
é o pedaço superior do cone
cortado pela esfera unitária. A curva de interseção entre cone e esfera ocorre em
, com coordenadas
que é um círculo de raio
no plano paralelo ao
a altura
. Para esboçar: desenhar o cone com semiângulo
para
e marcar a interseção com a esfera unitária (círculo na altura indicada).
Passo 7
Resumo prático (como usar na prova): ao ver
dado por
pense imediatamente em coordenadas cilíndricas. Parametrize
e
por
e
, expresse
em
, e imponha quaisquer restrições (aqui a esfera) para obter o intervalo de
. Sempre explicite os intervalos de
e
.