Seja
uma sequência com
onde
. Tome
onde
para todo
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
-
Dados:
-
é uma sequência com para todo . -
. - Para todo
define-se .
-
-
Pedido:
- Mostrar que
.
- Mostrar que
Passo 2
Primeiro vamos entender algumas propriedades elementares da sequência
que seguem imediatamente da definição:
-
Para todo
vale .
Justificativa: cada, e o mínimo de números não-negativos é não-negativo. -
A sequência
é não crescente (monótona decrescente): para todo , Explicação: quando se adiciona mais um elemento ao conjunto cujo mínimo se toma, o novo mínimo não pode ser maior do que o antigo — no máximo permanece igual ou diminui.
Essas duas propriedades dizem que
é uma sequência monótona e limitada inferiormente por
; portanto tem limite finito (existe
e este limite é algum número
). Mas precisamos mostrar que esse limite
é exatamente
.
Passo 3
Vamos recordar a definição de limite que vamos usar (definição
-
):
- Dizer que
significa que para todo existe tal que, para todo ,
A estratégia será: dado qualquer
, usar que
para obter um índice
com
, e a partir disso mostrar que todos os
para
também ficam menores que
.
Passo 4
Aplicando a convergência de
:
-
Seja
arbitrário. Como , existe tal que, para todo , Em particular,. -
Agora observe
. Pelo fato de ser o mínimo desses termos, tem-se -
Como
é não crescente, para todo vale . Então, para todo , Assimpara todo , como exigido pela definição de limite.
Passo 5
Concluímos que, para todo
existe
tal que para todo
tem-se
. Isso é exatamente a definição de
. Intuitivamente: porque os
ficam arbitrariamente pequenos, em algum momento aparece um
menor que
; daí o mínimo até essa posição já é menor que
, e como os mínimos posteriores não aumentam, todos os
seguintes permanecem menores que
.