Seja \left(x_{n}\right) uma sequência com x_{n} \geq 0 onde \lim x_{n}=0. Tome \left(y_{n}\right) onde y_{n}=\min \left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\} para todo n \in \mathbb{N}. Prove que y_{n} \rightarrow 0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Dados:
    • \left(x_{n}\right) é uma sequência com \,x_{n}\ge 0 para todo n.
    • \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_{n}=0.
    • Para todo n\in\mathbb{N} define-se \,y_{n}=\min\{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\}.
  • Pedido:
    • Mostrar que \displaystyle \lim_{n\to\infty} y_{n}=0.

Passo 2

Primeiro vamos entender algumas propriedades elementares da sequência \left(y_{n}\right) que seguem imediatamente da definição:
  • Para todo n vale \,y_{n}\ge 0.
    Justificativa: cada x_{k}\ge 0, e o mínimo de números não-negativos é não-negativo.
  • A sequência \left(y_{n}\right) é não crescente (monótona decrescente): para todo n,
    y_{n+1}=\min\{x_{1},\ldots,x_{n},x_{n+1}\}=\min\{y_{n},x_{n+1}\}\le y_{n}.
    Explicação: quando se adiciona mais um elemento ao conjunto cujo mínimo se toma, o novo mínimo não pode ser maior do que o antigo — no máximo permanece igual ou diminui.
Essas duas propriedades dizem que \left(y_{n}\right) é uma sequência monótona e limitada inferiormente por 0; portanto tem limite finito (existe \lim y_n e este limite é algum número L\ge 0). Mas precisamos mostrar que esse limite L é exatamente 0.

Passo 3

Vamos recordar a definição de limite que vamos usar (definição \varepsilon- N):
  • Dizer que \displaystyle \lim_{n\to\infty} y_{n}=0 significa que para todo \epsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, |y_{n}-0|=y_{n}<\epsilon.
A estratégia será: dado qualquer \epsilon>0, usar que x_{n}\to 0 para obter um índice N com x_{N}<\epsilon, e a partir disso mostrar que todos os y_{n} para n\ge N também ficam menores que \epsilon.

Passo 4

Aplicando a convergência de \left(x_{n}\right):
  • Seja \epsilon>0 arbitrário. Como \lim_{n\to\infty} x_{n}=0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
    x_{n}<\epsilon.
    Em particular, x_{N}<\epsilon.
  • Agora observe y_{N}=\min\{x_{1},\ldots,x_{N}\}. Pelo fato de y_{N} ser o mínimo desses N termos, tem-se
    y_{N}\le x_{N}<\epsilon.
  • Como \left(y_{n}\right) é não crescente, para todo n\ge N vale y_{n}\le y_{N}. Então, para todo n\ge N,
    0\le y_{n}\le y_{N}<\epsilon.
    Assim y_{n}<\epsilon para todo n\ge N, como exigido pela definição de limite.

Passo 5

Concluímos que, para todo \epsilon>0 existe N tal que para todo n\ge N tem-se y_{n}<\epsilon. Isso é exatamente a definição de \displaystyle \lim_{n\to\infty} y_{n}=0. Intuitivamente: porque os x_{n} ficam arbitrariamente pequenos, em algum momento aparece um x_{N} menor que \epsilon; daí o mínimo até essa posição já é menor que \epsilon, e como os mínimos posteriores não aumentam, todos os y_{n} seguintes permanecem menores que \epsilon.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} y_{n}=0

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