Esboce o gráfico de uma função que seja contínua, exceto para a descontinuidade declarada em cada item a seguir.
Descontínua em x=1 e x=4, porém contínua à direita em x=1 e contínua à esquerda em x=4

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce (isto é, construa/descrição do gráfico de) uma função que satisfaça exatamente estas condições:
  • A função é descontínua em \,x=1.
  • A função é descontínua em \,x=4.
  • Em \,x=1 a função é contínua à direita (isto é, é right-continuous em \,1).
  • Em \,x=4 a função é contínua à esquerda (isto é, é left-continuous em \,4).
Informações relevantes dadas (resumindo):
  • Precisamos ter descontinuidade em \,1 e em \,4.
  • Em \,1 vale que \lim_{x\to1^+} f(x)=f(1) (continuidade pela direita).
  • Em \,4 vale que \lim_{x\to4^-} f(x)=f(4) (continuidade pela esquerda).

Passo 2

Estratégia escolhida (por que e como): vou construir uma função simples, peça por peça (piecewise) usando segmentos retos/constantes. Essa é a forma mais direta para controlar limites laterais e valores no ponto sem complicar a conta — ideal para desenhar na prova. A ideia geral:
  • Para x<1 uso uma constante cujo valor ao aproximar 1 pela esquerda seja diferente do valor à direita.
  • Para 1\le x<4 uso uma linha que dá um valor diferente à esquerda de 1 mas que, à direita de 1, converge para o valor que eu quero em f(1).
  • Em x=4 defino f(4) igual ao limite pela esquerda; para x>4 escolho um valor diferente, garantindo a descontinuidade pela direita em 4.

Passo 3

Construção explícita da função (a forma final que vou esboçar):
f(x)= \begin{cases} 0, & x<1,\\[4pt] x, & 1\le x<4,\\[4pt] 4, & x=4,\\[4pt] 0, & x>4. \end{cases}
Explicando em palavras: para x<1 a função é a reta horizontal y=0; no intervalo [1,4) a função é a reta y=x (inclui o ponto x=1); em x=4 coloco o ponto y=4; e para x>4 volto a reta horizontal y=0.]

Passo 4

Lembrete/definição técnica que vou usar para checar:
  • A função é contínua em a se \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
  • É contínua à direita em a se \lim_{x\to a^+} f(x)=f(a) (não exige igualdade com o limite pela esquerda).
  • É contínua à esquerda em a se \lim_{x\to a^-} f(x)=f(a).

Passo 5

Verificação no ponto \,x=1:
  • Limite pela esquerda:
\lim_{x\to1^-} f(x)=0
porque para x<1 temos f(x)=0.
  • Limite pela direita:
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} x = 1.
  • Valor da função:
f(1)=1
porque a definição do pedaço \,1\le x<4 inclui x=1.
Conclusão em x=1: \lim_{x\to1^-} f(x)=0\neq1=\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1). Então há descontinuidade em \,1, mas como \lim_{x\to1^+} f(x)=f(1) a função é contínua à direita em \,1. Exatamente o que o enunciado pedia.

Passo 6

Verificação no ponto \,x=4:
  • Limite pela esquerda:
\lim_{x\to4^-} f(x)=\lim_{x\to4^-} x = 4
porque para 1\le x<4 temos f(x)=x.
  • Valor da função:
f(4)=4
(pelo caso explícito x=4 na definição).
  • Limite pela direita:
\lim_{x\to4^+} f(x)=0
porque para x>4 temos f(x)=0.
Conclusão em x=4: \lim_{x\to4^-} f(x)=f(4)=4, mas \lim_{x\to4^+} f(x)=0\neq4. Logo há descontinuidade em \,4, mas a função é contínua à esquerda em \,4. Novamente, exatamente o pedido.

Passo 7

Como esboçar o gráfico na prática (passo a passo para desenhar na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque os pontos x=1 e x=4.
  2. Para x<1: trace a linha horizontal y=0 (com um ponto aberto em x=1, isto é, um círculo vazio em (1,0), porque f(1)\neq0).
  3. Para 1\le x<4: trace a reta y=x começando em (1,1). Coloque um ponto cheio (preenchido) em (1,1) porque f(1)=1. A reta vai até próximo de (4,4) sem incluir esse ponto no trecho aberto (mas veja o próximo item).
  4. Em x=4: coloque um ponto cheio em (4,4) (porque defini f(4)=4). Coloque também, justo acima/direita do eixo, um ponto aberto em (4,0) para indicar o valor à direita não coincide com 4.
  5. Para x>4: trace a linha horizontal y=0 iniciando com ponto aberto em (4,0) e seguindo à direita.
Observação visual rápida: em x=1 há um “salto” entre o valor vindo da esquerda ( 0) e o valor da direita/valor do ponto ( 1) — mas o ponto do valor coincide com o limite pela direita; em x=4 o ponto coincide com o limite pela esquerda ( 4), e à direita a função salta para 0.

Passo 8

Dica de prova: se pedirem só um exemplo, essa construção é ótima porque é simples de escrever, fácil de desenhar e verifica-se os limites lateralmente com poucas contas. Se for pedir outra aparência, pode trocar as retas por outras curvas, desde que mantenha os valores e limites laterais desejados.

Resposta

f(x)= \begin{cases} 0, & x<1,\\[4pt] x, & 1\le x<4,\\[4pt] 4, & x=4,\\[4pt] 0, & x>4. \end{cases}]

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