Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=\frac{x}{x^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede: "Encontrar a derivada de f(x)=\dfrac{x}{x^{3}-1}".
Informações dadas e domínios relevantes:
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{x^{3}-1}.
  • O denominador não pode ser zero, logo x^{3}-1 \neq 0, ou seja x \neq 1.
  • Vamos encontrar f'(x) para x tais que x\neq 1.

Passo 2

Escolha do método: a maneira mais direta é aplicar a regra do quociente porque a função está dada na forma \dfrac{u(x)}{v(x)}. Como alternativa, pode-se reescrever como produto x\,(x^{3}-1)^{-1} e usar regra do produto + cadeia; vou mostrar as duas abordagens (a principal e a alternativa) para você ver que dão o mesmo resultado.

Passo 3

Regra do quociente (fórmula e definição das peças):
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\dfrac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
  • Aqui escolhemos u(x)=x e v(x)=x^{3}-1. Agora calculamos u'(x) e v'(x):
u'(x)=1,\qquad v'(x)=3x^{2}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente:
f'(x)=\dfrac{1\cdot (x^{3}-1)-x\cdot(3x^{2})}{(x^{3}-1)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
1\cdot (x^{3}-1)=x^{3}-1,
x\cdot(3x^{2})=3x^{3},
x^{3}-1-3x^{3}=(x^{3}-3x^{3})-1=-2x^{3}-1.

Passo 5

Substituindo a simplificação do numerador obtemos a forma final:
f'(x)=\dfrac{-2x^{3}-1}{(x^{3}-1)^{2}}.
Também é comum escrever fatorando o sinal:
f'(x)=-\dfrac{2x^{3}+1}{(x^{3}-1)^{2}}.
Lembrete: essa expressão só vale para x tais que x^{3}-1\neq 0 (ou seja, x\neq 1).

Passo 6

Verificação rápida usando produto + cadeia (mostrando que é consistente):
  • Reescreva f(x)=x\,(x^{3}-1)^{-1}.
  • Regra do produto: (uv)'=u'v+uv'. Aqui u(x)=x e v(x)=(x^{3}-1)^{-1}.
  • Já temos u'(x)=1. Para v'(x) usamos a regra da cadeia: se v(t)=t^{-1} então v'(t)=-t^{-2}; com t=x^{3}-1,
v'(x)=-1\cdot (x^{3}-1)^{-2}\cdot (3x^{2})=-\dfrac{3x^{2}}{(x^{3}-1)^{2}}.
  • Então
f'(x)=1\cdot (x^{3}-1)^{-1}+x\cdot\Bigl(-\dfrac{3x^{2}}{(x^{3}-1)^{2}}\Bigr) =\dfrac{1}{x^{3}-1}-\dfrac{3x^{3}}{(x^{3}-1)^{2}}.
  • Colocando sobre o mesmo denominador (x^{3}-1)^{2} obtemos novamente
f'(x)=\dfrac{x^{3}-1-3x^{3}}{(x^{3}-1)^{2}} =\dfrac{-2x^{3}-1}{(x^{3}-1)^{2}}.
Portanto as duas abordagens coincidem — sinal de confirmação que está certo.

Passo 7

Checagem numérica simples (teste rápido para evitar erro de sinal): para x=0 temos f'(0)=\dfrac{-2\cdot 0^{3}-1}{(0^{3}-1)^{2}}=\dfrac{-1}{1}=-1. Dá para calcular também a derivada pela definição em 0 se quiser, mas esse teste confirma a consistência do sinal no resultado.

Resposta

f'(x)=-\dfrac{2x^{3}+1}{(x^{3}-1)^{2}}

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