Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
Determine
Passo 1
O enunciado pede: "Encontrar a derivada de
".
Informações dadas e domínios relevantes:
Informações dadas e domínios relevantes:
- A função é
. - O denominador não pode ser zero, logo
, ou seja . - Vamos encontrar
para tais que .
Passo 2
Escolha do método: a maneira mais direta é aplicar a regra do quociente porque a função está dada na forma
. Como alternativa, pode-se reescrever como produto
e usar regra do produto + cadeia; vou mostrar as duas abordagens (a principal e a alternativa) para você ver que dão o mesmo resultado.
Passo 3
Regra do quociente (fórmula e definição das peças):
- Regra do quociente: se
então
- Aqui escolhemos
e . Agora calculamos e :
Passo 4
Substituindo na fórmula do quociente:
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
Passo 5
Substituindo a simplificação do numerador obtemos a forma final:
Também é comum escrever fatorando o sinal:
Lembrete: essa expressão só vale para
tais que
(ou seja,
).
Passo 6
Verificação rápida usando produto + cadeia (mostrando que é consistente):
- Reescreva
. - Regra do produto:
. Aqui e . - Já temos
. Para usamos a regra da cadeia: se então ; com ,
- Então
- Colocando sobre o mesmo denominador
obtemos novamente
Portanto as duas abordagens coincidem — sinal de confirmação que está certo.
Passo 7
Checagem numérica simples (teste rápido para evitar erro de sinal): para
temos
. Dá para calcular também a derivada pela definição em
se quiser, mas esse teste confirma a consistência do sinal no resultado.