Dado M=[cccos theta & -sin theta sin theta & cos theta]. Mostre que det M neq 0 e M^-1=M^T.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.]
Pede-se para mostrar que e que . Vamos usar cálculo de determinante e a definição de matriz inversa, aproveitando também o fato de que é uma matriz de rotação (ortogonal).

Passo 2

Para calcular o determinante, aplicamos
det M = (costheta)(costheta) - (-sintheta)(sintheta) = cos^2theta + sin^2theta = 1
Como det M = 1 neq 0, concluímos que M é invertível.

Passo 3

A transposta de é
-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para verificar que é de fato a inversa de , calculamos
\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} = .]
Isso mostra que , logo .

Resposta

det M = 1 neq 0 e M^-1 = M^T.

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