Prove que o operador P: R^2 R^2, dado por P(x, y)=(-2 x-4 y, 32 x+3 y) é a projeção sobre uma reta. Determine o núcleo e a imagem de P .

Passo 1

O enunciado define o operador linear
PcolonR^2toR^2, P(x,y)=l(-2x-4y,;tfrac32x+3yr),
e pede para provar que P é projeção sobre uma reta, ou seja, que P^2=P, e em seguida determinar ker(P) e Im(P). Vamos usar conhecimento de teoria de operadores lineares e definição de projeção idempotente.

Passo 2

Calcular P^2(x,y)=Pl(P(x,y)r). Primeiro, seja
(u,v)=P(x,y)=l(-2x-4y,;tfrac32x+3yr)
Então
P^2(x,y)=P(u,v) = l(-2u-4v,;tfrac32,u+3vr)
Substituindo u=-2x-4y e v=tfrac32x+3y, obtemos
-2u-4v = -2(-2x-4y)-4l(tfrac32x+3yr) =4x+8y-6x-12y=-2x-4y,
tfrac32,u+3v = tfrac32(-2x-4y)+3l(tfrac32x+3yr) =-3x-6y+tfrac92x+9y =tfrac32x+3y
Logo
P^2(x,y)=l(-2x-4y,;tfrac32x+3yr)=P(x,y)

Passo 3

Como mostramos que P^2=P para todo (x,y), concluímos que P é idempotente e portanto é uma projeção (eventualmente oblíqua) sobre a reta Im(P) paralela ao núcleo ker(P).

Passo 4

Determinar . Resolvemos
A primeira dá . Substituindo na segunda:
que é satisfeita para todo . Logo

Passo 5

Determinar . Basta ver que é gerada por e , onde , :
Observamos que , logo

Resposta

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