Prove que o operador
, dado por
é a projeção sobre uma reta. Determine o núcleo e a imagem de P .
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pede para provar que
é projeção sobre uma reta, ou seja, que
, e em seguida determinar
e
. Vamos usar conhecimento de teoria de operadores lineares e definição de projeção idempotente.
Passo 2
Calcular
. Primeiro, seja
Então
Substituindo
e
, obtemos
Logo
Passo 3
Como mostramos que
para todo
, concluímos que
é idempotente e portanto é uma projeção (eventualmente oblíqua) sobre a reta
paralela ao núcleo
.
Passo 4
Determinar
. Resolvemos
A primeira dá
. Substituindo na segunda:
que é satisfeita para todo
. Logo
Passo 5
Determinar
. Basta ver que é gerada por
e
, onde
,
:
Observamos que
, logo