Seja A uma matriz idempotente. Mostre que I ? A tambem é idempotente. Mostre que det(I+A) neq 0 e (I+A)^-1=I-A2.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz idempotente, ou seja,
A^2 = A
Precisamos mostrar três coisas:
  1. A matriz I - A também é idempotente.
  2. det(I + A)neq 0.
  3. A inversa de I + A é
(I + A)^-1 ;=; I ;-; A2
O conteúdo usado envolve propriedades de matrizes idempotentes, determinante e inversa de matrizes.

Passo 2

Para ver que I - A é idempotente, calculamos (I - A)^2. Usando a distributividade e A^2=A, temos
(I - A)^2 ;=; I^2 ;-; IA ;-; AI ;+; A^2 ;=; I ;-; A ;-; A ;+; A ;=; I ;-; A
Logo
(I - A)^2 = I - A,
que é exatamente a condição de idempotência para I - A.

Passo 3

Para mostrar que det(I + A)neq 0, usamos o fato de que os autovalores de uma matriz idempotente A valem apenas 0 ou 1. Se lambda é autovalor de A, então
A v = lambda v Longrightarrow A^2 v = lambda^2 v,
mas como A^2=A, segue lambda^2=lambda e assim lambdain0,1.
Os autovalores de I+A são ,1+lambdain1,2, todos não nulos. Portanto I+A é invertível, o que implica
det(I + A)neq 0

Passo 4

Para encontrar a inversa de I + A, fazemos a suposição
(I + A)^-1 ;=; I ;-; A2
e verificamos que é de fato a inversa à direita e à esquerda. Primeiro
(I + A)l(I - tfracA2r) = I - tfracA2 + A - tfracA^22 = I + tfracA2 - tfracA2 = I
Aqui usamos A^2=A. De modo análogo,
l(I - tfracA2r)(I + A) = I + A - tfracA2 - tfracA^22 = I + tfracA2 - tfracA2 = I
Isso mostra que I - tfracA2 é de fato a inversa de I + A.

Resposta

I - A é idempotente, det(I + A)neq 0 e
(I + A)^-1 ;=; I ;-; A2

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