Seja
uma matriz idempotente. Mostre que
?
tambem é idempotente. Mostre que
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz idempotente, ou seja,
Precisamos mostrar três coisas:
- A matriz
também é idempotente. -
. - A inversa de
é
O conteúdo usado envolve propriedades de matrizes idempotentes, determinante e inversa de matrizes.
Passo 2
Para ver que
é idempotente, calculamos
. Usando a distributividade e
, temos
Logo
que é exatamente a condição de idempotência para
.
Passo 3
Para mostrar que
, usamos o fato de que os autovalores de uma matriz idempotente
valem apenas
ou
. Se
é autovalor de
, então
mas como
, segue
e assim
.
Os autovalores de são
, todos não nulos. Portanto
é invertível, o que implica
Os autovalores de
Passo 4
Para encontrar a inversa de
, fazemos a suposição
e verificamos que é de fato a inversa à direita e à esquerda. Primeiro
Aqui usamos
. De modo análogo,
Isso mostra que
é de fato a inversa de
.