Seja A=[lll1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1]. Mostre que A^2=[lll1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1] e determine uma expressão geral para A^n por indução.

Passo 1

O enunciado dá a matriz triangular superior
A = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
e pede (i) mostrar por multiplicação direta que
A^2 = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 ,
e (ii) obter por indução uma expressão geral para A^n. O conteúdo envolve multiplicação de matrizes, reconhecimento de padrão em potências de matrizes triangulares e prova por indução.

Passo 2

Calculamos A^2 = A cdot A fazendo produto de linhas por colunas:
A^2 = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 = 1cdot1 + 1cdot0 + 1cdot0 & 1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot0 & 1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot1[6pt] 0cdot1 + 1cdot0 + 1cdot0 & 0cdot1 + 1cdot1 + 1cdot0 & 0cdot1 + 1cdot1 + 1cdot1[6pt] 0 & 0 & 1 = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Observando A^1 e A^2, notamos o padrão de entradas:
A^1 = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 , A^2 = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1
Conjeturamos que, para n>=1,
A^n = 1 & n & tfracn(n+1)2 0 & 1 & n 0 & 0 & 1

Passo 4

Base da indução: para n=1 a fórmula dá
A^1 = 1 & 1 & tfrac1cdot22 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 ,
que confere com A.

Passo 5

Passo indutivo: suponha que
A^k = 1 & k & tfrack(k+1)2 0 & 1 & k 0 & 0 & 1
Então
A^k+1 = A^k ,A = 1 & k & tfrack(k+1)2 0 & 1 & k 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
Multiplicando, obtemos
  • entrada (1,2): 1cdot1 + kcdot1 = k+1,
  • entrada (2,3): 1cdot1 + kcdot1 = k+1,
  • entrada (1,3): kcdot1 + tfrack(k+1)2cdot1 = k + tfrack(k+1)2 = tfrac(k+1)(k+2)2.
    As demais permanecem iguais. Logo
A^k+1 = 1 & k+1 & tfrac(k+1)(k+2)2 0 & 1 & k+1 0 & 0 & 1 ,
que fecha a indução.

Resposta

Para todo ninN,
A^n = 1 & n & dfracn(n+1)2 0 & 1 & n 0 & 0 & 1

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