Dado r \in \mathbb{N}, mostre que
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{r n}\right)^{n}=\sqrt[r]{e}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um inteiro fixo r\ge1,
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{r\,n}\Bigr)^{n}=\sqrt[r]{e}.
O conteúdo que vamos usar é o limite clássico
\lim_{m\to\infty}\Bigl(1+\frac1m\Bigr)^{m}=e
e o fato de que funções contínuas preservam limites.

Passo 2

Defina m = r\,n. Como n\to\infty e r é fixo, tem-se m\to\infty. Pelo limite conhecido,
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{r\,n}\Bigr)^{r\,n} =\lim_{m\to\infty}\Bigl(1+\frac1m\Bigr)^{m} = e.

Passo 3

Observe que
\Bigl(1+\frac{1}{r\,n}\Bigr)^{n} =\Bigl[\Bigl(1+\frac{1}{r\,n}\Bigr)^{r\,n}\Bigr]^{\!1/r}.
Seja a_n = (1+\frac1{r\,n})^{r\,n}. Então a sequência que interessa é a_n^{1/r}.

Passo 4

Como já vimos que \lim_{n\to\infty}a_n = e e a função x\mapsto x^{1/r} é contínua em x=e, segue
\lim_{n\to\infty}a_n^{1/r} =\bigl(\lim_{n\to\infty}a_n\bigr)^{1/r} = e^{1/r}.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{r\,n}\Bigr)^{n} = e^{1/r} = \sqrt[r]{e}.

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